Question

如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE

(1)若正方形ABCD的边长为4,BE=3,求EF的长？
(2)求证：AE=EC+CD．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC，∠D=∠C=90°．
∵BE=3，∴EC=1．∵F是CD的中点，∴DF=CF=2．
在Rt△EFC中，由勾股定理得

（2）证明：过F作FH⊥AE于H.

∵AF平分∠DAE，∠D=90°，FH⊥AE.
∴∠DAF=∠EAF，FH=FD，
在△AHF与△ADF中，
∵AF为公共边，∠DAF=∠EAF，FH=FD.
∴△AHF≌△ADF（HL）．
∴AH=AD，HF=DF．
又∵DF=FC=FH，FE为公共边，
∴△FHE≌△FCE．
∴HE=CE．
∵AE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE，
∴AE=EC+CD．

（1）由正方形的性质以及勾股定理求出EF；
（2）作FH⊥AE于G，由AF平分∠DAE证明△FHE≌△FCE，可以得出GE=CE，进而可以得出结论AE=EC+CD．
要证明两条线段的和等于第三条线段长常用的方法是“取长补短”.