Question

如图，ABCD为平行四边形，AD＝2，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.

（1）求证：EF＝DF；
（2）若AC=2CF,∠ADC=60 ^o, AC⊥DC，求DE的长.

Answer 1

（1）证明：过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G

则∠GEF＝∠CDF，∠G＝∠DCF                                  
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD
∴EG∥AB
∵BE∥AC
∴四边形ABEG是平行四边形
∴EG＝AB＝CD                
∴△EGF≌△DCF
∴EF＝DF                       
（2）∵∠ADC=60 ^o, AC⊥DC
∴∠CAD＝30 ^o
∵AD＝2
∴CD＝1                               
∴AC＝                              
又AC=2CF，
∴CF＝                                                  
在Rt△DGF中
DF＝＝
∴DE＝2DF＝  

（1）先过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G，由EG∥CD，AB∥CD，可得，AB∥GE，再由BE∥AG，那么四边形ABEG是平行四边形，就可得，AB=GE=CD，而GE∥CD，会出现两对内错角相等，故△EGF≌△DCF，即EF=DF．
（2）有AC⊥DC，∠ADC=60°，可得CD=AD=1，利用勾股定理，可求AC=，而CF=AC，那么再利用勾股定理，又可求DF，而由（1）知，DE=2DF，故可求．