题目内容
如图,⊙O′经过⊙O的圆心,E、F是两圆的交点,直线OO′交⊙O′于点P,交EF于点C,交⊙O于点Q,且EF=2
,sin∠P=
.
(1)求证:PE是⊙O的切线;
(2)求⊙O和⊙O′的半径的长;
(3)若点A在劣弧
上运动(与点Q、F不重合),连接PA交劣弧
于点B,连接BC并延长交⊙O于点G,设CG=x,PA=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
15 |
1 |
4 |
(1)求证:PE是⊙O的切线;
(2)求⊙O和⊙O′的半径的长;
(3)若点A在劣弧
QF |
DF |
(1)证明:连接OE,
∵OP是⊙O'的直径,
∴∠OEP=90°.
∴PE是⊙O的切线.
(2)设⊙O、⊙O'的半径分别为r,r'
∵⊙O与⊙O'交于E、F,
∴EF⊥OO',EC=
EF=
.
∴在Rt△EOC、Rt△POE中,∠OEC=∠OPE.
∴sin∠OEC=sin∠OPE=
.
∴sin∠OEC=
=
=
.
即OC=
r,
∴r2-
r2=15,解得r=4.
Rt△OPE中,sin∠OPE=
=
∴r'=8.
(3)连接OF,
∵∠OEP=90°,CE⊥OP,
∴PE2=PC•PO.
又∵PE是⊙O的切线,
∴PE2=PB•PA.
∴PC•PO=PB•PA.
即
=
,
又∵∠CPB=∠APO,
∴△CPB∽△APO.
∴
=
.
∴BC=
.
由相交弦定理,得BC•CG=CF•CE.
∴BC=
.
∴PA=4CG.
即y=4x(
<x<5).
∵OP是⊙O'的直径,
∴∠OEP=90°.
∴PE是⊙O的切线.
(2)设⊙O、⊙O'的半径分别为r,r'
∵⊙O与⊙O'交于E、F,
∴EF⊥OO',EC=
1 |
2 |
15 |
∴在Rt△EOC、Rt△POE中,∠OEC=∠OPE.
∴sin∠OEC=sin∠OPE=
1 |
4 |
∴sin∠OEC=
OC |
OE |
OC |
r |
1 |
4 |
即OC=
1 |
4 |
∴r2-
1 |
16 |
Rt△OPE中,sin∠OPE=
OE |
OP |
r |
2r′ |
∴r'=8.
(3)连接OF,
∵∠OEP=90°,CE⊥OP,
∴PE2=PC•PO.
又∵PE是⊙O的切线,
∴PE2=PB•PA.
∴PC•PO=PB•PA.
即
PC |
PA |
PB |
PO |
又∵∠CPB=∠APO,
∴△CPB∽△APO.
∴
BC |
OA |
PC |
PA |
∴BC=
60 |
PA |
由相交弦定理,得BC•CG=CF•CE.
∴BC=
15 |
CG |
∴PA=4CG.
即y=4x(
15 |
练习册系列答案
相关题目