题目内容

【题目】如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(l)概念理解:如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由.

(2)性质探宄:试探索垂美四边形ABCD两组对边AB,CD与BC,AD之间的数量关系.

猜想结论:(要求用文字语言叙述)

写出证明过程(先画出图形,写出已知、求证)

(3)问题解决:如图3,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE长.

【答案】(1)四边形ABCD是垂美四边形,理由见解析;(2)猜想结论:垂美四边形的两组对边的平方和相等,过程见解析;(3)GE=

【解析】试题分析:1)根据垂直平分线的判定定理可得,直线AC是线段BD的垂直平分线,结论得证;

2)根据垂直的定义可得∠AED=AEB=BEC=CED=90°,由勾股定理得AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,进而得到答案;

3)连接CGBE,由题意易得GAB≌△CAE,可知∠ABG=AEC,进而得到四边形BCGE是垂美四边形;接下来根据垂美四边形的性质、勾股定理以及(2)的结论进行计算求解,即可完成解答.

试题解析:

解:(1)四边形ABCD是垂美四边形.

证明:∵AB=AD

∴点A在线段BD的垂直平分线上,

CB=CD

∴点C在线段BD的垂直平分线上,

∴直线AC是线段BD的垂直平分线,

ACBD,即四边形ABCD是垂美四边形;

2)猜想结论:垂美四边形的两组对边的平方和相等.

如图2,已知四边形ABCD中,ACBD,垂足为E

求证:AD2+BC2=AB2+CD2

证明:∵ACBD

∴∠AED=AEB=BEC=CED=90°

由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2

AD2+BC2=AB2+CD2

3)连接CGBE

∵∠CAG=BAE=90°

∴∠CAG+BAC=BAE+BAC,即∠GAB=CAE

在△GAB和△CAE中,

∴△GAB≌△CAE

∴∠ABG=AEC,又∠AEC+AME=90°

∴∠ABG+AME=90°,即CEBG

∴四边形CGEB是垂美四边形,

由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2

AC=4AB=5

BC=3CG=4BE=5

GE2=CG2+BE2﹣CB2=73

GE=

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