题目内容

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点．
（1）求出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）观察图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若点Q在第一象限中的双曲线上运动，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

解：（1）设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），
将点M（-2，-1）坐标代入得k= $\text{[math]}$ ，所以正比例函数解析式为y= $\text{[math]}$ x，
设反比例函数解析式为y= $\text{[math]}$ （k₁≠0），
将点M（-2，-1）坐标代入得k₁=2
所以反比例函数解析式为 $\text{[math]}$ ；

（2）根据正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点，结合图象得出：
当-2＜x＜0或x＞2时，正比例函数值大于反比例函数值．

（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，
而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长，
所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n， $\text{[math]}$ ），
由勾股定理可得OQ²=n²+ $\text{[math]}$ =n²+ $\text{[math]}$ -4+4=（n- $\text{[math]}$ ）²+4，
所以当（n- $\text{[math]}$ ）²=0即n- $\text{[math]}$ =0时，OQ²有最小值4，
又因为OQ为正值，所以OQ与OQ²同时取得最小值，
所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP= $\text{[math]}$ ，
所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）=2（ $\text{[math]}$ +2）=2 $\text{[math]}$ +4．
分析：（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；
（2）根据正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点，得出交点两侧两函数大小正好不同，结合图象得出即可．
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQOQ=PC，而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
点评：此题考查了一次函数和反比例函数二次函数的图形和性质，综合性比较强．要注意对各个知识点的灵活应用．