Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）①AE为何值时四边形CEDF是矩形？为什么？

②AE为何值时四边形CEDF是菱形？为什么？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①当AE＝4cm时，四边形CEDF是矩形．理由见解析；②当AE＝2时，四边形CEDF是菱形，理由见解析.

【解析】

（1）先证△GED≌△GFC，推出DE＝CF和DE∥CF，再根据平行四边形的判定推出即可；

（2）①作AP⊥BC于P，先证明△ABP≌△CDE，然后求出DE的值即可得出答案；②先证明△CDE是等边三角形，然后求出DE的值即可得出答案．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BF，

∴∠DEF＝∠CFE，∠EDC＝∠FCD，

∵G是CD的中点，

∴GD＝GC，

∴△GED≌△GFC，

∴DE＝CF，DE∥CF，

∴四边形CEDF是平行四边形，

（2）①当AE＝4cm时，四边形CEDF是矩形．

理由：作AP⊥BC于P，

∵四边形CEDF是矩形，

∴∠CED＝∠APB＝90°，

∴AP=CE，

又∵ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=4cm，

则△ABP≌△CDE（HL），

∴BP=DE，

∵AB＝4cm，∠B＝60°，

∴BP＝AB×cos60°=4×=2（cm），

∴BP=DE=2cm，

又∵BC=AD=6cm，

∴AE=AD-DE=6-2=4（cm）；.

②当AE＝2时，四边形CEDF是菱形．

理由：∵平行四边形CEDF是菱形，

∴DE＝CE，

又∵∠CDE＝∠B＝60°，

∴△CDE是等边三角形，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=4cm，DE=CD=4cm，

∵BC=AD=6cm，

则AE=AD-DE=6-4=2（cm）.