Question

【题目】如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置．连接PQ，则以下结论错误的是（　　）

A. ∠QPB=60° B. ∠PQC=90° C. ∠APB=150° D. ∠APC=135°

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断B；依据△BPQ是等边三角形，即可得到∠QPB＝∠BPQ＝∠BQP＝60°，进而得出∠BPA＝∠BQC＝60°＋90°＝150°，求出∠APC＋∠QPC＝150°和PQ≠QC即可判断D选项．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

∵将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置，

∴△BQC≌△BPA，

∴∠BPA＝∠BQC，BP＝BQ＝4，QC＝PA＝3，∠ABP＝∠QBC，

∴∠PBQ＝∠PBC＋∠CBQ＝∠PBC＋∠ABP＝∠ABC＝60°，

∴△BPQ是等边三角形，

∴PQ＝BP＝4，

∵PQ2＋QC2＝42＋32＝25，PC2＝52＝25，

∴PQ2＋QC2＝PC2，

∴∠PQC＝90°，即△PQC是直角三角形，故B正确，

∵△BPQ是等边三角形，

∴∠QPB＝∠BPQ＝∠BQP＝60°，故A正确，

∴∠BPA＝∠BQC＝60°＋90°＝150°，故C正确，

∴∠APC＝360°150°60°∠QPC＝150°∠QPC，

∵∠PQC＝90°，PQ≠QC，

∴∠QPC≠45°，即∠APC≠135°，故选项D错误．

故选：D．