题目内容
【题目】 如图,AB是⊙O的直径,点E是AD上的一点,∠DBC=∠BED
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)已知AD=3,CD=1,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)﹣
.
【解析】
(1)根据圆周角定理得∠BAD=∠BED,加上∠DBC=∠BED,所以∠BAD=∠DBC,再由AB为直径得∠ADB=90°,所以∠BAD+∠ABD=90°,于是得到∠DBC+∠ABD=90°,即∠CBO=90°,然后根据切线的判断定理可判断BC为⊙O的切线;
(2)求出BD=,连结OD,作DH⊥AB于H,根据勾股定理计算出AB=2
,则OB=OD=
,于是可判断△OBD为等边三角形,则∠BOD=60°,根据面积公式求出DH=
,然后根据扇形面积公式和三角形面积公式,利用阴影部分的面积=S扇形OBD-S△OBD进行计算即可.
解:(1)∵∠BAD=∠BED,
而∠DBC=∠BED,
∴∠BAD=∠DBC,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD+∠ABD=90°
∴∠DBC+∠ABD=90°,即∠CBO=90°,
∴AB⊥BC,
∴BC为⊙O的切线;
(2)连结OD,作DH⊥AB于H,
∵∠ABC=90°,BD⊥AC,
根据(1)知∠BAD=∠DBC
∴△ABD∽△BDC
∴BD2=ADCD=3×1=3,
∴BD=,
∴AB==
=2
,
∴OB=OD=,
∴OB=OD=BD,
∴△OBD为等边三角形,
∴∠BOD=60°,
∵ABDH=
ADBD,
∴DH==
=
,
∴S阴影=S扇形OBD﹣S△OBD=﹣
×
×
=
﹣
.

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