Question

【题目】如图，已知四边形为的内接四边形，对角线、交于，．

（1）求证：；

（2）作的角分线交于点，连接，若，连接、，与交于，求证：；

（3）在（2）的条件下，连接，延长交于点，若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4

【解析】

（1）先判断出∠OBD=∠ODB，再判断出∠OBA=∠ODA，进而得出∠ADB=∠ABD，即可得出结论；

（2）设∠ADF=，则∠ABF=∠DBF=，∠ADB=，∠O=，∠EFD=，∠OFD=，所以∠OFE=，结论得证；

（3）连接DQ，在FQ上取一点N使∠ADN=∠ADF，连接AN，证明△AQN≌△DQN≌△DQE，得出∠EQD=∠DQN=∠AQN=，求出=10°，求出BP，BE长，则AD长可求出．

（1）如图1，连接OA、OB、OD，

∴OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∵OA=OB=OD，

∴∠OAB=∠OBA，∠OAD=∠ODA，

∵∠ACB=∠ACD，

∴∠AOB=∠AOD，

∴∠OBA=∠ODA，

∴∠ADB=∠ABD，

∴AB=AD；

（2）如图2，连接OD，设∠ADF=，

∴∠ABF=∠DBF=，

∴∠ADB=，∠O=，

∵

∴

∴∠EDF=+=

∴∠EFD=，

∠OFD=，

∴∠OFE=∠OFD-∠EFD=，

∴∠ADF=2∠OFE；

（3）如图3，连接DQ，在FQ上取一点N使∠ADN=∠ADF，连接AN，

∵∠FDE=，EP⊥BC，

∴∠BEP=，∠CBD=∠CAD=，OF垂直平分AD，∠FAD=∠DAN=，

∴∠QAN=，QA=QD，

∴∠NDQ=，∠BDN=，

∴∠EDN=，DE=DF=DN=AN，AQ=QD，

∴△AQN≌△DQN≌△DQE（SAS），

∴∠EQD=∠DQN=∠AQN=，

∴

∴，

∴∠ABE=，

∴∠BEA=∠BAE=，AD=AB=BE，

在Rt△BPE中，∠PBE=，

∴BP=，BE=

∴AD=4．

故答案为：4