Question

如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于E、F，AE=

3

．
（1）求弧EF的长．
（2）若AD=

3

+5，直线MN分别交DA、DC于点M、N，∠DMN=60°，将直线MN沿射线DA方向平移，当MN和⊙O第一次相切时，求点D到直线MN的距离．
（3）若点D到直线MN的距离为4时，请直接写出⊙O和直线MN的位置关系．

Answer 1

（1）连接OE、OF．
∵AD、AB与⊙O相切于E、F，
∴OE⊥AD，OF⊥AB
∵矩形ABCD中，∠A=90°，
∴四边形OEAF是矩形．
∵OE=OF，
∴四边形OEAF是正方形，
∴OE=OF=AE=

3

，∠O=90°，
∴弧EF的长为：

90π× 3

180

=

3 π

2

；

（2）当MN和⊙O第一次相切时，设MN交AD于P，交BC于Q，连接OP，OE，过D作DG⊥MN于G．
∵MN∥PQ，
∴∠DMN=∠DPQ=60°，
∴∠APQ=120°．
∵PA和PQ与⊙O相切，
∴∠EPO=∠OPQ=60°．
在△OEP中，∠OEP=90°，∠EOP=30°，OE=

3

，
∴EP=1，OP=2，
∴DP=AD-AE-EP=

3

+5-

3

-1=4．
在△DPG中，∵∠DGP=90°，∠PDG=30°，
∴DG=PD•cos30°=2

3

，
∴点D到直线MN的距离d为2

3

；

（3）设点D到直线MN的距离为d．
由（2）知，当d=2

3

时，直线MN与⊙O第一次相切，
∵⊙O的半径为

3

，∴当d=4

3

时，直线MN与⊙O第二次相切，
又∵2

3

＜4＜4

3

，
∴当d=4时，MN直线与⊙O相交．