题目内容
（2012•包头）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；
（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
分析：（1）先根据点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动求出1秒后AP及BQ的长，进而可得出QD及的长，再由PE∥BC可知
=
，故可得出PE=QD，由PE∥BC即可得出结论；
（2）先用t表示出PC及CQ的长，再求出
=
即可得出结论；
（3）分∠EQP=90°，∠QED=90°两种情况，通过三角形相似，列出比例关系，求出t的值即可．
| AP |
| AC |
| PE |
| CD |
（2）先用t表示出PC及CQ的长，再求出
| PC |
| AC |
| CQ |
| BC |
（3）分∠EQP=90°，∠QED=90°两种情况，通过三角形相似，列出比例关系，求出t的值即可．
解答：
解：（1）能，
如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，t=1秒，
∴AP=1厘米，BQ=1.25厘米，
∵AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，CD=3cm，
∴PC=AC-AP=4-1=3（厘米），QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75（厘米），
∵PE∥BC，
∴
=
，
=
，解得PE=0.75，
∵PE∥BC，PE=QD，
∴四边形EQDP是平行四边形；
（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，
∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，
∴
=
=1-
，
=
=1-
，
∴
=
，
∴PQ∥AB；
（3）分两种情况讨论：
①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC
∴
=
，
∵BC=5厘米，CD=3厘米，
∴BD=2厘米，
∴DQ=1.25t-2，
∴
=
，解得t=2.5（秒）；
②如图4，
当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则四边形EMCP是矩形，EM=PC=4-t，
在Rt△ACD中，
∵AC=4厘米，CD=3厘米，
∴AD=
=
=5，
∴CN=
=
，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴
=
=
，
=
，解得t=3.1（秒）．
综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．
解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，t=1秒，
∴AP=1厘米，BQ=1.25厘米，
∵AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，CD=3cm，
∴PC=AC-AP=4-1=3（厘米），QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75（厘米），
∵PE∥BC，
∴
| AP |
| AC |
| PE |
| CD |
| 1 |
| 4 |
| PE |
| 3 |
∵PE∥BC，PE=QD，
∴四边形EQDP是平行四边形；
（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，
∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，
∴
| PC |
| AC |
| 4-t |
| 4 |
| t |
| 4 |
| CQ |
| BC |
| 5-1.25t |
| 5 |
| t |
| 4 |
∴
| PC |
| AC |
| CQ |
| BC |
∴PQ∥AB；
（3）分两种情况讨论：
①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC
∴
| EQ |
| AC |
| DQ |
| DC |
∵BC=5厘米，CD=3厘米，
∴BD=2厘米，
∴DQ=1.25t-2，
∴
| 4-t |
| 4 |
| 1.25t-2 |
| 3 |
②如图4，
当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则四边形EMCP是矩形，EM=PC=4-t，在Rt△ACD中，
∵AC=4厘米，CD=3厘米，
∴AD=
| AC2+CD2 |
| 42+32 |
∴CN=
| AC•CD |
| AD |
| 12 |
| 5 |
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴
| DQ |
| AD |
| EQ |
| AC |
| EM |
| CN |
| 1.25t-2 |
| 5 |
| 5(4-t) |
| 12 |
综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．
点评：本题考查的是相似三角形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理及直角三角形的性质，难度较大．
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