题目内容
【题目】如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，BC＝(
)AD， 以AD为边作等边三角形ADE，则∠BEC＝______.
【答案】75°或165°
【解析】
过点A作AF∥CD交于F，可得四边形AFCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得AD=FC,AF=CD，再求出BF，根据勾股定理逆定理判定△ABF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出∠ABF=45°，根据平行线的性质求出∠BAD=135°，然后分①点E在AD上方，根据周角等于360°求出∠BAE，根据等腰三角形的性质求出∠ABE，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；②点E在AD下方，求出∠BAE,再根据等腰三角形的性质求出∠ABE，然后求出∠CBE，再利用三角形的内角和列式计算即可.
在等腰梯形ABCD中，AB=CD，
过点A作AF∥CD交BC于F，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∴AD=FC,AF=CD
∵AB＝AD，BC＝(
)AD，
∴BF=BC-FC=()AD-AD=
AD，
在△ABF中，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠ABF=45°
∵AD∥BC，
∴∠BAD=180°-∠ABF=135°
于是①如图1，等边三角形ADE的顶点E在AD的上方时，
∠BAE=360°-60°-135°=165°
∵AB=AD=AE，
∴∠ABE=
（180°-165°）=7.5°
∴∠CBE=∠ABF+∠ABE=45°+7.5°=52.5°，
同理得∠BCE=52.5°
∴∠BEC=180°-52.5°×2=75°
另②如图2，等边三角形ADE的顶点E在AD的下方时，
∠BAE=∠BAD-∠DAE=135°-60°=75°
∵AB=AD=AE，
∴∠ABE=（180°-75°）=52.5°
∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=45°+7.5°=7.5°，
∴∠BEC=180°-7.5°×2=165°
故答案为75°或165°
