Question

25、已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，请根据题中所给的条件，解答下列问题：
（1）如图1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，则∠C=

60

度，
（2）如图2，若∠BAD=62°，∠EAD=22°，则∠C=

72

度，
（3）通过以上的计算你发现∠EAD和∠C-∠B之间的关系应为：∠C-∠B=

2

∠EAD；
（4）在图3的△ABC中，∠C＞∠B，那么（3）中的结论仍然成立吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）先求出∠BAE=∠BAD-∠EAD=45°，再根据角平分线的定义，得出∠BAC=90°，则根据三角形内角和定理得出∠C=90°-∠B，故求出∠B的度数即可．而在直角△ABD中，∠B=90°-∠BAD=30°；
（2）同（1），先求出∠BAE=∠BAD-∠EAD=40°，再根据角平分线的定义，得出∠BAC=80°，则三角形内角和定理得出∠C=100°-∠B，故求出∠B的度数即可．而在直角△ABD中，∠B=90°-∠BAD=28°；
（3）由（1）（2）的计算发现∠EAD和∠C-∠B之间的关系应为：∠C-∠B=2∠EAD；
（4）先根据三角形内角和定理及垂直的定义，得出∠C-∠B=∠BAD-∠CAD，再由角平分线的定义得出结论∠C-∠B=2∠EAD．

解答：解：（1）∵∠BAD=60°，∠EAD=15°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=90°．
∵AD⊥BC，∠BAD=60°，
∴∠B=30°，
∴∠C=90°-30°=60°；
（2）∵∠BAD=62°，∠EAD=22°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=40°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=80°．
∵AD⊥BC，∠BAD=62°，
∴∠B=28°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠B°=72°；
（3）∵（1）中∠EAD=15°，∠C-∠B=60°-30°=30°，发现∠C-∠B=2∠EAD，
       （2）中∠EAD=22°，∠C-∠B=72°-28°=44°，发现∠C-∠B=2∠EAD，
     故推测∠C-∠B=2∠EAD；
（4）在图3的△ABC中，∠C＞∠B，那么（3）中的结论仍然成立．理由如下：
∵在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠BAE=∠CAE，
∴∠C-∠B=90°-∠CAD-（90°-∠BAD）=∠BAD-∠CAD，
又∵∠BAD=∠BAE+∠EAD，∠CAD=∠CAE-∠EAD，
∴∠C-∠B=2∠EAD．

点评：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线、垂直的定义及角的和差，属于基础题型，难度中等．