Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，利用直尺和圆规完成如下操作：

①作∠BAC的平分线交BC于点D；

②作边AB的垂直平分线EF，EF与AD相交于P点；

③连接PB、PC，

请你观察所作图形，解答下列问题：

（1）线段PA、PB、PC之间的大小关系是________；

（2）若∠ABC=68°，求∠BPC的度数．

Answer 1

【答案】（1）；（2）88°．

【解析】

根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作出AD、EF即可；

（1）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得直线AD是线段BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得PA=PB=PC；

（2）根据等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC=68°，

①以A为圆心，任意长为半径画弧，交AB、AC于M、N，分别以M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，作射线AQ，交BC于D；

②分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于E、F，作直线EF交AD于P，

③连接PB、PC，

∴如图即为所求，

（1）∵AD是∠BAC的角平分线，AB=AC，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴PB=PC，

∵EF是AB的垂直平分线，

∴PA=PB，

∴PA=PB=PC，

故答案为：PA=PB=PC

（2）∵AB=AC，∠ABC=68°，

∴，

∴∠BAC=180°-2×68°=44°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD=22°，

由（1）可知PA=PB=PC，

∴∠PBA=∠PAB=∠PCA=22°

∴∠BPD=∠CPD=2∠PAB=44°，

∴∠BPC=2∠BPD=88°，