题目内容
【题目】阅读理解:在平面直角坐标系中,对于任意两点
与
的“非常距离”,给出如下定义:
若,则点
与点
的“非常距离”为
;
若,则点
与点
的“非常距离”为
.
例如:点,点
,因为
,所以点
与点
的“非常距离”为
,也就是图1中线段
与线段
长度的较大值(点
为垂直于
轴的直线
与垂直于
轴的直线
的交点).
(1)已知点,
为
轴上的一个动点.
①若点(0,3),则点
与点
的“非常距离”为 ;
②若点与点
的“非常距离”为2,则点
的坐标为 ;
③直接写出点与点
的“非常距离”的最小值为 ;
(2)已知点(0,1),点
是直线
上的一个动点,如图2,求点
与点
“非常距离”的最小值及相应的点
的坐标.
【答案】(1)①3;②B(0,2)或(0,﹣2);③;(2)最小值为
,
.
【解析】
(1)①根据若,则点
与点
的“非常距离”为
解答即可;
②根据点B位于y轴上,可以设点B的坐标为.由“非常距离”的定义可以确定
,据此可以求得y的值;
③设点B的坐标为.因为
,所以点A与点B的“非常距离”最小值为
;
(2)设点C的坐标为.根据材料“若
,则点
与点
的“非常距离”为
”,此时
,列出
再求解,据此可以求得最小值和点C的坐标.
解:(1)① ,
.
∵ ,∴点A与点B的“非常距离”为3.
② ∵B为y轴上的一个动点,∴设点B的坐标为(0,y).
∵,∴
.
解得,y=2或y=﹣2;
∴点B的坐标是(0,2)或(0,﹣2).
③ 点A与点B的“非常距离”的最小值为.
(2)如图2,取点C与点D的“非常距离”的最小值时,
需要根据运算定义“若,则点
与点
的‘非常距离’为
”解答,此时
.
∵是直线
上的一个动点,点D的坐标是(0,1),
∴设点的坐标为
,则
∴或
,∴
或
.
∵ ,∴点C与点D的“非常距离”的最小值为
,
此时.
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