题目内容
【题目】如图1,二次函数y=ax2+bx+3经过点A(3,0),G(﹣1,0)两点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)若点M时抛物线在第一象限图象上的一点,求△ABM面积的最大值;
(3)抛物线的对称轴交x轴于点P,过点E(0, )作x轴的平行线,交AB于点F,是否存在着点Q,使得△FEQ∽△BEP?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x2+2
x+3
;(2)△ABM面积的最大值是
;
(3)存在; Q的坐标为(﹣,﹣
)或(﹣
,
).
【解析】试题分析:(1)根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得ME的长,根据三角形的面积,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案.
(3)即可确定△BEP,根据相似三角形的判定定理即可求得点Q的坐标,解题时要注意答案的不唯一性.
试题解析:(1)将A、G点坐标代入函数解析式,得 ,
解得 ,
抛物线的解析式为y=﹣x2+2
x+3
;
(2)作ME⊥x轴交AB于E点,如图1
当x=0时,y=3,即B点坐标为(0,3
)
直线AB的解析式为y=﹣x+3
,
设M(n,﹣ n2+2
n+3
),E(n,﹣
n+3
),
ME═﹣n2+2
n+3
﹣(﹣
n+3
)=﹣
n2+5
n,
S△ABM=MExA=
(﹣
n2+5
n)×3=﹣
(n﹣
)2+
,
当n=时,△ABM面积的最大值是
;
(3)存在;理由如下:
OE=,AP=2,OP=1,BE=3
﹣
=
,
当y=时,﹣
x+3
=
,解得x=
,即EF=
将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°,得到△B'EC(如图3),
∵OB⊥EF,
∴点B'在直线EF上,
∵C点横坐标绝对值等于EO长度,C点纵坐标绝对值等于EO﹣PO长度,
∴C点坐标为(﹣,
﹣1),
过F作FQ∥B'C,交EC于点Q,
则△FEQ∽△B'EC,
由 =
,
可得Q的坐标为(﹣,﹣
);
根据对称性可得,Q关于直线EF的对称点Q'(﹣,
)也符合条件.
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