Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）OF＝1.8

【解析】

（1）由题意连接CD、OD，求得即可证明DE是⊙O的切线；

（2）根据题意运用切线的性质、角平分线性质和勾股定理以及三角形的面积公式进行综合分析求解.

解：（1）证明：连接CD，OD

∵∠ACB＝90°，BC为⊙O直径，

∴∠BDC=∠ADC＝90°，

∵E为AC中点，

∴EC＝ED=AE，

∴∠ECD＝∠EDC；

又∵∠OCD＝∠CDO，

∴∠EDC+∠CDO＝∠ECD+ ∠OCD= ∠ACB＝90°，

∴DE是⊙O的切线.

（2）解：连接CD，OE，

∵∠ACB＝90°，

∴AC为⊙O的切线，

∵DE是⊙O的切线，

∴EO平分∠CED，

∴OE⊥CD，F为CD的中点，

∵点E、O分别为AC、BC的中点，

∴OE＝AB＝＝5，

在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝8，

∵在Rt△ADC中，E为AC的中点，

∴DE＝AC＝＝4，

在Rt△EDO中，OD＝BC＝＝3，DE＝4，由勾股定理得：OE＝5，

由三角形的面积公式得：S△EDO＝，

即4×3＝5×DF，

解得：DF＝2.4，

在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF＝＝＝1.8．