Question

（本题8分）如图，已知在⊙O中，∠ABD＝∠CDB。

（1）求证：AB＝CD；
（2）顺次连结ACBD四点，猜想得到的是哪种特殊的四边形？并说明理由。

Answer 1

（1）连结BC、AD，
∵∠ABD＝∠CDB，∠A＝∠C，BD＝BD，
∴△ABD≌△BCD，∴AB＝CD。
（2）得到的四边形是等腰梯形。
∵∠ACD＝∠ABD，而∠ABD＝∠CDB，
∴∠ACD＝∠CDB，∴AC∥BD，
又∵∠ABD＝∠CDB，∴AD＝CB，
∴四边形ACBD是等腰梯形。

试题分析：（1）由优弧所对应的圆周角相等，推出∠A＝∠C，又由题目所给出的∠ABD＝∠CDB以及公共边，推出两个三角形全等，进而推出AB＝CD。
（2）又∠ACD＝∠ABD与∠ABD＝∠CDB等量代换，推出∠ACD＝∠CDB，根据内错角相等，推出AC∥BD，又因为∠ABD＝∠CDB，所以两个角所对应的劣弧=，所以AD=CB，从而推出四边形为等腰梯形。
点评：通过圆周角相等推出弧相等，进而求出相关的数据。