题目内容
【题目】已知正方形ABCD，过点B有一条直线1与正方形ABCD的对角线AC所在直线相交于点G，过点C、A分别作直线1的垂线段CE、AF于点E、F，对角线AC、BD相交于点O，连接OE、OF．
（1）如图1，猜测OE、OF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）若正方形边长为10．
①若直线1在如图1的位置，当
时，求EG的长；
②若直线1在如图2的位置，当
时，请直接写出EG的长．
【答案】（1）OE＝OF，OE⊥OF．理由见解析；（2）①EG＝
；②EG＝2
．
【解析】
（1）根据题意设OB交AF于J．证明△AFB≌△BEC（AAS），可得结论OE=OF，OE⊥OF；
（2）①根据题意作OH⊥BE于H．想办法证明EH=EC=FH=OH，设EC=a，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出a，再证明EG=GH即可解决问题；
②根据题意作OH⊥BE于H．首先证明OH-EH=HF=2EC，设EC=m，在Rt△BCE中，利用勾股定理求出m，再证明EG=EH即可解决问题．
解：（1）结论：OE＝OF，OE⊥OF．
理由：如图1中，设OB交AF于J．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，OB＝OC＝OD＝OA，∠ABC＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵CE⊥BE，AF⊥BF，
∴∠CEB＝∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠CBE＝90°，∠CBE+∠ECB＝90°，
∴∠ABF＝∠ECB，
∴△AFB≌△BEC（AAS），
∴CE＝BF，
∵EC⊥BE，AF⊥BE，
∴EC∥AF，
∴∠ECO＝∠OAF，
∵∠OAF+∠AJO＝90°，∠BJF+∠OBF＝90°，∠AJO＝∠BJF，
∴∠OAF＝∠OBF＝∠OCE，
∴△ECO≌△FBO（SAS），
∴OE＝OF，∠EOC＝∠FOB，
∴∠EOF＝∠COB＝90°，
∴OE⊥OF．
（2）①如图1中，作OH⊥BE于H．
∵OE＝OF，∠EOF＝90°，
∴EH＝FH，
∴OH＝EH＝FH，
∴OE＝
EH，
∵OE＝CE，
∴EC＝FH＝BF，
设EC＝a，则BE＝3a，
在Rt△BCE中，∵BC2＝CE2+BE2，
∴10a2＝100，
∴a＝，
∴EC＝EH＝，
∵∠CEG＝∠OHG＝90°，∠EGC＝OGH，EC＝OH，
∴△CEG≌△OHG（AAS），
∴EG＝GH＝
EH＝．
②如图2中，作OH⊥BE于H．
∵OE＝OF，∠EOF＝90°，
∴EH＝FH，
∴OH＝EH＝FH，
∴OE＝EH，
∵OE＝2CE，
∴EH＝OH＝FH＝2CE，
∵∠AFB＝∠BEC＝∠ABC＝90°，
∴∠ABF+∠CBE＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
∵AB＝BC，
∴△BEC≌△AFB（AAS），
∴EC＝BF，
∴BF＝BH，设EC＝m，则BE＝3m，
在Rt△BCE中，∵BC2＝CE2+BE2，
∴10m2＝100，
∴m＝，
∴EC＝，EH＝2，
∵CE⊥OH，
∴△GEC∽△GHO，
∴
＝
＝，
∴EG＝GH＝2．
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