题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系xoy中,直线与x 轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.
(1)①直接写出点B的坐标;②求抛物线解析式.
(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC.求△PAC的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)①B(1,0)②(2)4,P(-2,3);(3)存在M1(0,2),M2(-3,2), M3(2,-3),M4(5,-18), 使得以点 A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.
【解析】试题分析:(1)①先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标,然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标;②设抛物线的解析式为y=y=a(x+4)(x﹣1),然后将点C的坐标代入即可求得a的值;
(2)设点P、Q的横坐标为m,分别求得点P、Q的纵坐标,从而可得到线段PQ=-m2﹣2m,然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4,然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值,从而可求得点P的坐标;
(3)首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO,然后分以下几种情况分类讨论即可:①当M点与C点重合,即M(0,2)时,△MAN∽△BAC;②根据抛物线的对称性,当M(﹣3,2)时,△MAN∽△ABC; ④当点M在第四象限时,解题时,需要注意相似三角形的对应关系.
试题解析:(1)①y=x+2
当x=0时,y=2,当y=0时,x=﹣4,
∴C(0,2),A(﹣4,0),
由抛物线的对称性可知:点A与点B关于x=﹣对称,
∴点B的坐标为(1,0).
②∵抛物线y=ax2+bx+c过A(﹣4,0),B(1,0),
∴可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x﹣1),
又∵抛物线过点C(0,2),
∴2=﹣4a
∴a=-
∴y=-x2-x+2.
(2)设P(m,-m2-m+2).
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,
∴Q(m,m+2),
∴PQ=-m2-m+2﹣(m+2)
=-m2﹣2m,
∵S△PAC=×PQ×4,
=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣(m+2)2+4,
∴当m=﹣2时,△PAC的面积有最大值是4,
此时P(﹣2,3).
(3)在Rt△AOC中,tan∠CAO=在Rt△BOC中,tan∠BCO=,
∴∠CAO=∠BCO,
∵∠BCO+∠OBC=90°,
∴∠CAO+∠OBC=90°,
∴∠ACB=90°,
∴△ABC∽△ACO∽△CBO,
如下图:
①当M点与C点重合,即M(0,2)时,△MAN∽△BAC;
③ 根据抛物线的对称性,当M(﹣3,2)时,△MAN∽△ABC;
④ 当点M在第四象限时,设M(n,-n2-n+2),则N(n,0)
∴MN=n2+n﹣2,AN=n+4
当时,MN=AN,即n2+n﹣2=(n+4)
整理得:n2+2n﹣8=0
解得:n1=﹣4(舍),n2=2
∴M(2,﹣3);
当时,MN=2AN,即n2+n﹣2=2(n+4),
整理得:n2﹣n﹣20=0
解得:n1=﹣4(舍),n2=5,
∴M(5,﹣18).
综上所述:存在M1(0,2),M2(﹣3,2),M3(2,﹣3),M4(5,﹣18),使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.