Question

【题目】已知直线y=﹣ x+3与两坐标轴分别相交于A，B两点，若点P，Q分别是线段AB，OB上的动点，且点P不与A，B重合，点Q不与O，B重合．
（1）若OP⊥AB于点P，△OPQ为等腰三角形，这时满足条件的点Q有几个？请直接写出相应的OQ的长；
（2）当点P是AB的中点时，若△OPQ与△ABO相似，这时满足条件的点Q有几个？请分别求出相应的OQ的长；
（3）试探究是否存在以点P为直角顶点的Rt△OPQ？若存在，求出相应的OQ的范围，并求出OQ取最小值时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1中，满足条件的点Q有三个．

理由：作PM⊥OB于M，作OP的垂直平分线交OP于F，交OB于Q1．则Q1P=Q1O，△OPQ1是等腰三角形，此时OQ1= OB=2．

∵A（0，3），B（4，0），

∴OA=3，OB=4，AB=5，

∵OP⊥AB，

∴ OAOB= ABOP，

∴OP= = ，

当OQ2=OP时，△OPQ2是等腰三角形，此时OQ2= ，

当PO=PQ3时，∵PM⊥OQ3，

∴OQ3=2OM，

∵∠POM=∠POQ3，∠PMO=∠OPB，

∴△OPM∽△OBP，

∴OP2=OMOB，

∴OM= = ，

∴OQ3= ．

综上所述，△OPQ为等腰三角形时，满足条件的点Q有三个，OQ的长为2或 或

（2）

解：如图2中，满足条件的点Q有2个．

理由：作PQ1⊥OB于Q1，Q2P⊥OP于Q2，

∵PA=PB，∠AOB=90°，

∴PA=PB=PO，

∴∠POQ1=∠ABO，∵∠PQ1O=∠AOB，

∴△OPQ1∽△BAO，

∵PA=PB，PQ1∥OA，

∴OQ1=BQ1= OB=2，

∵∠POQ2=∠ABO，∠OPQ2=∠AOB，

∴△OPQ2∽△BOA，

∴ = ，

∴ = ，

∴OQ2= ，

综上所述，△OPQ与△ABO相似时，满足条件的点Q有2个，OQ的长为2或

（3）

解：存在．理由如下：

如图3中，以OQ为直径作⊙G，当⊙G与AB相切于点P时，∠OPQ=90°，此时OQ的值最小．

∴设OG=GP=r，

∵AO=AP=3，

∴PB=AB=AP=2，

在Rt△PBG中，∵∠GPB=90°，PG=r，BG=4﹣r，PB=2，

∴r2+22=（4﹣r）2，

∴r= ，

∴OQ=2r=3，

∴当3≤OQ＜4时，△OPQ可为直角三角形．

作PM⊥OB于M．

∵PM∥OA，

∴ = = ，

∴ = = ，

∴PM= ，BM= ，

∴OM=4﹣ = ，

∴OQ取最小值时点P的坐标（ ， ）

【解析】（1）如图1中，满足条件的点Q有三个，分三种情形讨论即可①QO=QP，②OP=OQ，③PO=PQ．（2）如图2中，满足条件的点Q有2个．作PQ1⊥OB于Q1 ， Q2P⊥OP于Q2 ， 可以证明Q1、Q2满足条件，理由相似三角形的性质即可解决问题．（3）存在．以OQ为直径作⊙G，当⊙G与AB相切于点P时，∠OPQ=90°，此时OQ的值最小．由此求出OQ，即可解决问题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角），以及对相似三角形的判定的理解，了解相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）．