Question

（12分）如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．

（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△，求△与五边形OEFBC重叠部分的面积．

Answer 1

（1）
（2）
（3）或1或

解：（1）D点的坐标是.                                   （2分）
（2）连结OD,如图（1），由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°,

又在梯形DOAB中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°
∴∠1=∠2, ∴△ODE∽△AEF                                               (4分)
∴，即：
∴y与x的解析式为：
          (6分)
（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况.
①当EF=AF时，如图（2）.∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,∴△AEF为等腰直角三角形.

D在A’E上（A’E⊥OA）,
B在A’F上（A’F⊥EF）
∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为
四边形EFBD的面积.
∵
∴

∴
∴（也可用）   (8分)
②当EF=AE时，如图（3），此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.

∠DEF=∠EFA=45°， DE∥AB ，又DB∥EA
∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=
∴
            (10分)
③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内.

∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
由（2）知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3
∴AE=AF=OA-OE=
过F作FH⊥AE于H,则

∴
综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或     （12分）