题目内容

【题目】如图,在△ABC中,ABAC,以AB为直径的⊙OBC于点D,交AC于点G,过DEFAC于点E,交AB的延长线于点F

1)求证:EF是⊙O的切线;

2)当∠BAC60°,AB8时,求EG的长;

3)当AB5BC6时,求tanF的值.

【答案】1)见解析;(22;(3tanF

【解析】

1)连接OD,由等腰三角形的性质得出∠ODB=C,证出ODAC,再由已知得出EFOD,即可证出EF是⊙O的切线;

2)连接BGAD,由圆周角定理得出∠AGB=ADB=90°,即BGACADBC,由等腰三角形的性质得出BD=CD,证出△ABC是等边三角形,得出AC=AC=8,证出EFBG,由平行线得出CEEG=CDBD,证出CE=EG,由等腰三角形的性质得出,即可得出EG的长;

3)由等腰三角形的性质得出,由勾股定理求出,由三角函数求出,得出,再由勾股定理求出,由平行线得出△ODF∽△AEF,得出对应边成比例求出,在RtODF中,由三角函数定义即可得出答案.

解(1)证明:如图1,连接OD

ABAC

∴∠C=∠OBD

ODOB

∴∠ODB=∠OBD

∴∠ODB=∠C

ODAC

EFAC

EFOD

EF是⊙O的切线;

2)如图2,连接BGAD

AB是⊙O的直径,

∴∠AGB=∠ADB90°,

BGACADBC

ABAC,∠BAC60°,

BDCD,△ABC是等边三角形,

ACAC8

EFAC

EFBG

CEEGCDBD

CEEG

BGAC

CGAGAC4

EGCG2

3)解:∵ADBCCDBDBC3

AD4sinC

DECD×3

AE

ODAC

∴△ODF∽△AEF

,即

解得:DF

RtODF中,ODAB

tanF

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