题目内容
【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点G,过D作EF⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)当∠BAC=60°,AB=8时,求EG的长;
(3)当AB=5,BC=6时,求tanF的值.
【答案】(1)见解析;(2)2;(3)tanF=.
【解析】
(1)连接OD,由等腰三角形的性质得出∠ODB=∠C,证出OD∥AC,再由已知得出EF⊥OD,即可证出EF是⊙O的切线;
(2)连接BG、AD,由圆周角定理得出∠AGB=∠ADB=90°,即BG⊥AC,AD⊥BC,由等腰三角形的性质得出BD=CD,证出△ABC是等边三角形,得出AC=AC=8,证出EF∥BG,由平行线得出CE:EG=CD:BD,证出CE=EG,由等腰三角形的性质得出,即可得出EG的长;
(3)由等腰三角形的性质得出,由勾股定理求出
,由三角函数求出
,得出
,再由勾股定理求出
,由平行线得出△ODF∽△AEF,得出对应边成比例求出
,在Rt△ODF中,由三角函数定义即可得出答案.
解(1)证明:如图1,连接OD,
∵AB=AC,
∴∠C=∠OBD,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,
∵EF⊥AC,
∴EF⊥OD,
∴EF是⊙O的切线;
(2)如图2,连接BG、AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AGB=∠ADB=90°,
即BG⊥AC,AD⊥BC,
∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴BD=CD,△ABC是等边三角形,
∴AC=AC=8,
∵EF⊥AC,
∴EF∥BG,
∴CE:EG=CD:BD,
∴CE=EG,
∵BG⊥AC,
∴CG=AG=AC=4,
∴EG=CG=2;
(3)解:∵AD⊥BC,CD=BD=BC=3,
∴AD==
=4,sinC=
=
=
,
∴DE=CD=
×3=
,
∴AE==
=
,
∵OD∥AC,
∴△ODF∽△AEF,
∴,即
,
解得:DF=,
在Rt△ODF中,OD=AB=
,
∴tanF==
=
.
