Question

如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于点T，AC⊥PQ于点C，交⊙O于点D。

（1）求证：AT平分∠BAC。
（2）若AD＝2，TC＝，求⊙O的半径。

Answer 1

（1）见解析（2）2

连结OT　∵PQ切⊙O于T　∴OT⊥PQ　又∵AC⊥PA　∴OA∥AC
∴∠TAC＝∠ATO　又∵OT＝OA　∴∠ATO＝∠OAT　∴∠OAT＝∠TAC，即AT平分∠BAC
（2）过点O作OM⊥AC于M　∴AM＝MD＝AD＝1
又∠OTC＝∠ACT＝∠OMC＝90°
∴四边形OTCM为矩形　∴OM＝TC＝
∴在Rt△AOM中　AO＝＝＝2
即⊙O半径为2
（1）连结OT ，PQ切⊙O于T，则OT⊥PC，根据AC⊥PQ，则AC∥OT，要证明AT平分∠BAC，只要证明∠TAC=∠ATO就可以了．
（2）过点O作OM⊥AC于M，则满足垂径定理，在直角△AOM中根据勾股定理就可以求出半径OA．