Question

【题目】如图，矩形纸片ABCD，AB=，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．

（1）求证：∠ABM=30°；

（2）求证：△BMG是等边三角形；

（3）若P为线段BM上一动点，求PN+PG的最小值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由对折，判断出BN垂直平分MG，通过计算即可；

（2）由（1）∠ABM=∠NBM=GBN=30°，得出∠MBG=60°，即可；

（3）先计算出BG=BM=2，再判断出点N与点A关于直线BM对称，得到PN+PG的最小值为AG，计算即可．

试题解析：（1）∵对折AD与BC重合，

∴点E是AB的中点，

∴点N是MG的中点，

∵∠BNM=∠A=90°，

∴BN垂直平分MG，

∴BM=BG，

∴∠GBN=∠MBN，

由翻折的性质，∠ABM=∠NBM，

∴∠ABM=∠NBM=∠GBN=×90°=30°，

∴∠MBG=60°；

（2）由（1）知，∠ABM=∠NBM=GBN=30°，

∴∠MBG=60°，

∵BM=BG，

∴△BMG为等边三角形，

（3）如图，

连接PN，PA，PG，

∵AB=，∠ABM=30°，

∴BM=2，

∴BG=BM=2，

∴由折叠的性质知，点N与点A关于直线BM对称，

∴PN=PA，

∴PN+PG的最小值为AG，

∵AG=，

∴PN+PG的最小值为．