题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象交于A、B两点,与x轴交于C点,点A的坐标为(n,12),点C的坐标为(-4,0),且tan∠ACO=2.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求点B的坐标;
(3)在x轴上求点E,使△ACE为直角三角形.(直接写出点E的坐标)
【答案】(1) y=,y=2x+8;(2) B(-6,-4);(3) 点E的坐标为E1(2,0),E2(26,0).
【解析】
试题分析:(1)过点A作AD⊥x轴于D,根据A、C的坐标求出AD=12,CD=n+4,已知tan∠ACO=2,可求出n的值,把点的坐标代入解析式即可求得反比例函数和一次函数解析式;
(2)将反比例函数和一次函数的解析式联立,解方程组即可求得点B的坐标;
(3)分两种情况:①AE⊥x轴,②EA⊥AC,分别写出E的坐标即可.
试题解析:(1)过点A作AD⊥x轴于D,
∵C的坐标为(-4,0),A的坐标为(n,12),
∴AD=12,CD=n+4,
∵tan∠ACO=2,
∴=2,
解得:n=2,
∴A(2,12),
把A(2,12)代入y=,
得m=2×12=24,
∴反比例函数表达式为:y=,
又∵点A(2,12),C(-4,0)在直线y=kx+b上,
∴2k+b=12,-4k+b=0,
解得:k=2,b=8,
∴一次函数的表达式为:y=2x+8;
(2)由方程组,
解得:,,
∵A(2,12),
∴B(-6,-4);
(3)分两种情况:
①当AE⊥x轴时,即点E与点D重合,此时E1(2,0);
②当EA⊥AC时,此时△ADE∽△CDA,
则,
DE==24,
又∵D的坐标为(2,0),
∴E2(26,0).
综上所述,所求点E的坐标为E1(2,0),E2(26,0).