Question

已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE＝．
（1）求证：；
（2）求EM的长；
（3）求sin∠EOB的值．

Answer 1

（1）证明：连接AC、EB
∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACE
∴△AMC∽△EMB
∴
∴--------------------------------------------------------3分
（2）解：∵DC是⊙O的直径
∴∠DEC=90°
∴
∵DE＝，CD=8，且EC为正数
∴EC=7
∵M为OB的中点
∴BM=2，AM=6
∵，且EM＞MC
∴EM=4------------------------------------------------------------------------------7分
（3）解：过点E作EF⊥AB，垂足为点F
∵OE=4，EM=4
∴OE=EM
∴OF=FM=1
∴EF=
∴sin∠EOB=---------------------------------------------------------------------10分

（1）连接A、C，E、B点，那么只需要求出△AMC和△EMB相似，即可求出结论，根据圆周角定理可推出它们的对应角相等，即可得△AMC∽△EMB；
（2）根据圆周角定理，结合勾股定理，可以推出EC的长度，根据已知条件推出AM、BM的长度，然后结合（1）的结论，很容易就可求出EM的长度；
（3）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，通过作辅助线，解直角三角形，结合已知条件和（1）（2）所求的值，可推出Rt△EOF各边的长度，根据锐角三角函数的定义，便可求得sin∠EOB的值．