Question

【题目】如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线1与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，设P点的横坐标为m．

①求线段PE长度的最大值；

②点P将线段AC分割成长、短两条线段PA、PC，如果较长线段与AC之比等于，则称P为线段AC的“黄金分割点”，请直接写出使得P为线段AC黄金分割点的m的值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），y=﹣x﹣1；（2）①当x=时，PE的最大值为；②P为线段AC黄金分割点的m的值是或．

【解析】

（1）令y=0得到关于x的方程，解方程可求得点A和点B的横坐标，将x=2代入抛物线的解析式求得对应的y值可求得点C的纵坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A和点C的坐标代入求得k和b的值即可；

（2）①设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），然后得到PE与x的函数关系式，利用二次函数的性质可求得PE的最大值；

②根据黄金分割点，可得答案．

解（1）当y=0时，解得：x1=﹣1或x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）．

将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3得：y=﹣3，∴C（2，﹣3）．

设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A和点C的坐标代入得：，解得：，∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1．

（2）①设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）

∵P点在E点的上方，∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，PE的最大值为．

②设P（m，﹣m﹣1）（﹣1＜m＜2），A（﹣1，0），C（2，﹣3）．

当=时，=，解得：m=或m=＜－1（舍去）；

当=时，=，解得：m=或m=（舍去）．

综上所述：P为线段AC黄金分割点的m的值是或．