Question

已知关于x的方程x²+（m+2）x+2m-1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）若1是该方程的一个根．求m的值并求出此时方程的另一个根．

Answer 1

（1）证明：∵a=1，b=m+2，c=2m-1，
∴△=（m+2）²-4×1×（2m-1）=m²-4m+8=（m-2）²+4，
∵无论m取何值，（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，即△＞0，
∴方程x²+（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实数根；

（2）解：把x=1代入原方程得，1+m+2+2m-1=0，
∴m=-，
∴原方程化为程x²+x-=0，
解得：x₁=1，x₂=-，即另一个根为-
分析：（1）若方程有两个不相等的实数根，则应有△=b²-4ac＞0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况；
（2）直接代入x=1，求得m的值后，解方程即可求得另一个根．
点评：本题是对根的判别式与解一元二次方程的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．