Question

【题目】在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，△CDE为等边三角形，CD＝2，连接AD，M为AD中点．

（1）如图1，当B，C，E三点共线时，请画出△EDM关于点M的中心对称图形，并证明BM⊥ME；

（2）如图2，当A，C，E三点共线时，求BM的长；

（3）如图3，取BE中点N，连MN，将△CDE绕点C旋转，直接写出旋转过程中线段MN的取值范围是_____．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）先作出图形，进而证明△AMF≌△DME，即可得出结论；

（2）同（1）的方法得出△AMF≌△DMF，利用四边形的内角和定理及平角的定义得出∠BCE＝∠BAF即可得出∠BME＝90°，最后用勾股定理即可得出结论；

（3）同（2）的方法得出∠BME＝90°，进而得出BE＝2MN，最后用三角形的三边关系即可得出结论．

解：（1）证明：如图1，

延长BA，EM交于点F，即：△FAM即为所求，

∵△CDE是等边三角形，

∴CD＝CE＝DE，∠CED＝60°，

∵∠ABC＝120°，

∴∠ABC+∠CED＝180°，

∵B，C，E三点共线，

∴AB∥DE，

∴∠FAM＝∠MDE，∠MED＝∠F，

∵点M是AD中点，

∴AM＝DM，

∴△AMF≌△DME，

∴AF＝DE＝CE，FM＝ME，

∵AB＝BC，

∴BF＝BE，

∴BM⊥ME；

（2）证明：如图2，延长EM到点F，使MF＝ME，连接BF，AF，BE，

∵AM＝DM，∠FMA＝∠DME，

∴△AMF≌△DMF，

∴AF＝DE＝CE，∠FAD＝∠ADE，

在四边形BADE中，∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA＝360°，

∵∠ABC＝120°，∠CED＝60°，

∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE＝180°，

∵∠CBE+∠CEB+∠BCE＝180°，

∴∠BCE＝∠BAD+∠ADE，

∴∠BCE＝∠BAF，

∵AB＝AC，

∴△AFB≌△CEB，

∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE，

∴∠FBE＝∠ABC＝120°，∠BEF＝30°，

∴∠BME＝90°，BE＝2BM．

在△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝120°，∴∠BAC＝30°，

过点B作BG⊥AC于G，

∴BG＝，CG＝AG＝3，

∴EG＝CG+CE＝3+2＝5

在Rt△BCE中，根据勾股定理得，BE＝2，

∴BM＝；

（3）如图3，延长EM到点F，使MF＝ME，连接BF，AF，BM，

∵AM＝DM，∠FMA＝∠DME，

∴△AMF≌△DME，

∴AF＝DE＝CE，∠FAD＝∠ADE，

在四边形BADE中，∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA＝360°，

∵∠ABC＝120°，∠CED＝60°，

∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE＝180°，

∵∠CBE+∠CEB+∠BCE＝180°，

∴∠BCE＝∠BAD+∠ADE，

∴∠BCE＝∠BAF，

∵AB＝CB，

∴△AFB≌△CEB，

∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE，

∴∠FBE＝∠ABC＝120°，∠BEF＝30°，

∴∠BME＝90°，

∵点N是BE的中点，

∴MN＝BE，

即：BE＝2MN，

在△BCE中，BC＝2，CE＝CD＝2，

∴2﹣2＜BE＜2+2，

∴2﹣2＜2MN＜2+2，

即：﹣1≤MN≤+1，

故答案为：﹣1≤MN≤+1．