题目内容
如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知∠ACB=45°,∠ABC=120°,⊙O的半径为1,
(1)求弦AC、AB的长;
(2)若P为CB的延长线上一点,试确定P点的位置,使PA与⊙O相切,并证明你的结论.
(1)求弦AC、AB的长;
(2)若P为CB的延长线上一点,试确定P点的位置,使PA与⊙O相切,并证明你的结论.
(1)过O作OE⊥AC于E,连接OC,?
∵∠ABC=120°,则∠AOC=120°.?
又∵OA=OC,?
∴∠OAD=∠OCD=30°.?
在Rt△AOD中,cos∠OAD=
,
又∵OA=1,?
∴AE=OA•cos30°=
.∴AC=2AE=
.?
在△AOB中,OA=OB=1,∠AOB=2∠ACB=90°,∴AB=
.?
(2)过P作PF⊥AB于F,设BF=a,?
∵∠ABP=180°-∠ABC=60°,?
∴∠BPF=30°.∴BP=2BF=2a.?
在Rt△BPF中,PF=
=
a.?
∵PA切⊙O于A,∴∠OAP=90°.?
∵∠OAB=45°,∴∠PAF=45°.?
在Rt△PAF中,AE=PF=
a,?
又∵AF+FB=AB=
,?
∴a+
a=
,
解a=
.?
∴PB=2a=
-
.
∵∠ABC=120°,则∠AOC=120°.?
又∵OA=OC,?
∴∠OAD=∠OCD=30°.?
在Rt△AOD中,cos∠OAD=
AD |
OA |
又∵OA=1,?
∴AE=OA•cos30°=
| ||
2 |
3 |
在△AOB中,OA=OB=1,∠AOB=2∠ACB=90°,∴AB=
2 |
(2)过P作PF⊥AB于F,设BF=a,?
∵∠ABP=180°-∠ABC=60°,?
∴∠BPF=30°.∴BP=2BF=2a.?
在Rt△BPF中,PF=
BP2-BE2 |
3 |
∵PA切⊙O于A,∴∠OAP=90°.?
∵∠OAB=45°,∴∠PAF=45°.?
在Rt△PAF中,AE=PF=
3 |
又∵AF+FB=AB=
2 |
∴a+
3 |
2 |
解a=
| ||||
2 |
∴PB=2a=
6 |
2 |
练习册系列答案
相关题目