Question

问题探究：
（1）如图1，在⊙O中，AB是直径，CD⊥AB于点E，AE=a，EB=b．计算CE的长度（用a、b的代数式表示）．
（2）如图2，请你在边长分别为a、b（a＞b）的矩形ABCD的边AD上找一点M，使得线段CM=

ab

（保留作图痕迹）．
问题解决：
（3）请你在（2）中结论的基础上，在图3中对矩形ABCD进行拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形．并探究你所画出拼成的正方形的面积是否存在最大值和最小值？若存在，求出这个最大值和最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图1，连接AC、BC，利用AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，求证△ACE∽△CBE，然后利用相似三角形对应边成比例即可求得；
（2）如图2，延长BC，使得CE=CD．以BE为直径画弧，以C为圆心，以CP为半径画弧即可；
（3）如图3，利用了（2）的结论，在图3中对矩形ABCD进行拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形．

解答：解：（1）如图1，连接AC、BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ECB=90°，
又∴CD⊥AB于点E，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠A=90°，
∴∠A=∠ECB，
∴△ACE∽△CBE，
∴

AE

CE

=

CE

BE

，
∴CE²=AE•BE=ab，
∵CE为线段，
∴CE=

ab

；

（2）如图2，延长BC，使得CE=CD．
以BE为直径画弧，交CD的延长线于点P．
以C为圆心，以CP为半径画弧，交AD于点M．点M即为所求．

（3）如图3．以C为圆心，CM长为半径画圆，过B点作FB∥MC，
做MN⊥FB，CQ⊥FB，
正方形MNQC为所求．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到复杂作图及垂径定理等相关知识，难度较大．