Question

如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M，若BC=5，CF=3，则在下列四个结论中：①CE∥DF；②△DMF是等腰三角形；③EF平分∠CFD；④DM：MC=4：3．正确结论的序号是________．

Answer 1

①③④
分析：在直角梯形中，可得∠ECD=∠CDF，进而可得CE∥DF；但不能得出△MDF为等腰三角形；
可由∠CFE=∠EFD得EF平分∠CFD；由△CME∽△DMF，可得DM：MC=DF：CE=4：3．
解答：∵△BEC绕C点旋转90°得到△DCF，∴△BEC≌△DCF，∠BCE=∠DCF
∵∠BCD=90°，AD∥BC，即∠BCE+∠ECD=90°，∠DCF+∠CDF=90°，
∴∠ECD=∠CDF，∴CE∥DF，①正确；
②中假设MF=MD，则∠MDF=∠MFD，
∵CE=CF，∴∠CEF=∠CFE，
∵∠MFD+∠EFC=90°，∠FEC+∠ECF=∠DMF≠90°，所以假设不成立，②不对；
∵CE=CF，∴∠CEF=∠CFE，由①得，CE∥DF，
∴∠CEF=∠EFD，∴∠CFE=∠EFD即EF平分∠CFD，③正确；
BC=5，即CD=5，CF=3，在Rt△CDF中，则DF=4，
由△CME∽△DMF，可得DM：MC=DF：CE=4：3，④正确．
故正确的结论为：①③④．
点评：掌握直角梯形的性质，能够运用直角梯形的性质求解一些线段的平行，相等问题．