题目内容

【题目】如图,在ABC中,∠ABC=90°,将ABC绕点C顺时针旋转得到DEC,连接ADBE,延长BEAD于点F

1)求证:∠DEF=ABF

2)求证:FAD的中点;

3)若AB=8AC=10,且ECBC,求EF的长.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3

【解析】

1)根据等角的余角相等证明即可;

2)如图1中,作ANBFNDMBFBF的延长线于M,首先证明ANB≌△DME,可得AN=DM,然后证明AFN≌△DFM,求出AF=FD即可;(3)如图2中,作ANBFNDMBFBF的延长线于M,想办法求出FMEM即可.

1)证明: CB=CE

∴∠CBE=CEB

∵∠ABC=CED=90°

∴∠DEF+CEB=90°,∠ABF+CBE=90°

∴∠DEF=ABF

2)证明:如图1中,作ANBFNDMBFBF的延长线于M

∵∠ABN=DEM,∠ANB=M=90°AB=DE

∴△ANB≌△DMEAAS),

AN=DM

∵∠ANF=M=90°,∠AFN=DFMAN=DM

∴△AFN≌△DFMAAS),

AF=FD,即FAD的中点;

3)如图2中,作ANBFNDMBFBF的延长线于M

RtABC中,∵∠ABC=90°AC=10AB=8

BC=EC==6

ECBC

∴∠BCE=ACD=90°

AC=CD=10

AD=10

DF=AF=5

∵∠MED=CEB=45°

EM=MD=4

RtDFM中,FM==3

EF=EM-FM=

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