Question

如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点P，顶点为C（1，-2）.

（1)求此函数的关系式；
（2)作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由.

Answer 1

；E(3，2) ；3

试题分析：1）∵的顶点为C（1，-2），
∴，．                 2
2）设直线PE对应的函数关系式为．由题意，四边形ACBD是菱形.
故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M．            1
由P(0，-1)，M（1，0），得．从而，          2
设E(，)，代入，得．
解之得，，根据题意，得点E(3，2)             2
3）假设存在这样的点F，可设F(，)．过点F作FG⊥轴，垂足为点G.
在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，
∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP.
∴．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即．

解得，，根据题意，
得F(1，-2)．
故点F(1，-2)即为所求．       

点评：解答本题的的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似.