题目内容

【题目】△ABC中,AB=AC,取BC的中点D,做DE⊥AC与点E,取DE的中点F,连接BE,AF交于点H.

(1)如图1,如果∠BAC=90°,那么∠AHB= °,=

(2)如图2,如果∠BAC=60°,猜想∠AHB的度数和的值,并证明你的结论;

(3)如果∠BAC=α,那么= .(用含α表达式表示)

【答案】(1)90;;(2)90;

【解析】

试题分析:连接AD,根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C,∠BAD=∠BAC,AD⊥BC,然后根据同角的余角相等可得∠ADE=∠C.易证△ADB∽△DEC,可得ADCE=BDDE.由此可得ADCE=BC2DF=BCDF,即,由此可证到△AFD∽△BEC,则有.在Rt△ADB中根据三角函数的定义可得tan∠ABD=tan(90°-∠BAC)=,从而可得=tan(90°-∠BAC).由△AFD∽△BEC可得∠DAF=∠CBE,即可得到∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°,即可得到∠AHB=90°.利用以上结论即可解决题中的三个问题.

试题解析:连接AD,

AB=AC,点D是BC的中点,

∠ABC=∠C,∠BAD=∠DAC=∠BAC,AD⊥BC,

AD⊥BC,DE⊥AC,

∠ADE+∠CDE=90°,∠C+∠CDE=90°,

∠ADE=∠C.

∠ADB=∠DEC=90°,

△ADB∽△DEC,

,即AD·CE=BD·DE.

点D是BC的中点,点F是DE的中点,

BD=BC,DE=2DF,

ADCE═BC2DF=BCDF,

∠ADE=∠C,

△AFD∽△BEC,

在Rt△ADB中,

∠ABD=90°-∠BAD=90°-∠BAC,BD=BC,

tan∠ABD=tan(90°-∠BAC)=

tan(90°-∠BAC).

△AFD∽△BEC,∠DAF=∠CBE.

∠CBE+∠BOD=90°,∠AOH=∠BOD,

∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°,

∠AHO=180°-90°=90°,即∠AHB=90°.

(1)如图1,

根据以上结论可得:

∠AHB=90°,=tan(90°-×90°)=

(2)如图2,

猜想:∠AHB=90°,

证明:根据以上结论可得:

∠AHB=90°,=tan(90°-×60°)=

(3)如图3,

根据以上结论可得:

=tan(90°-α).

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