题目内容
【题目】△ABC中,AB=AC,取BC的中点D,做DE⊥AC与点E,取DE的中点F,连接BE,AF交于点H.
(1)如图1,如果∠BAC=90°,那么∠AHB= °,= ;
(2)如图2,如果∠BAC=60°,猜想∠AHB的度数和的值,并证明你的结论;
(3)如果∠BAC=α,那么= .(用含α表达式表示)
【答案】(1)90;;(2)90;
【解析】
试题分析:连接AD,根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C,∠BAD=∠BAC,AD⊥BC,然后根据同角的余角相等可得∠ADE=∠C.易证△ADB∽△DEC,可得ADCE=BDDE.由此可得ADCE=BC2DF=BCDF,即,由此可证到△AFD∽△BEC,则有.在Rt△ADB中根据三角函数的定义可得tan∠ABD=tan(90°-∠BAC)=,从而可得=tan(90°-∠BAC).由△AFD∽△BEC可得∠DAF=∠CBE,即可得到∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°,即可得到∠AHB=90°.利用以上结论即可解决题中的三个问题.
试题解析:连接AD,
∵AB=AC,点D是BC的中点,
∴∠ABC=∠C,∠BAD=∠DAC=∠BAC,AD⊥BC,
∵AD⊥BC,DE⊥AC,
∴∠ADE+∠CDE=90°,∠C+∠CDE=90°,
∴∠ADE=∠C.
又∵∠ADB=∠DEC=90°,
∴△ADB∽△DEC,
∴,即AD·CE=BD·DE.
∵点D是BC的中点,点F是DE的中点,
∴BD=BC,DE=2DF,
∴ADCE═BC2DF=BCDF,
∴,
又∵∠ADE=∠C,
∴△AFD∽△BEC,
∴.
在Rt△ADB中,
∵∠ABD=90°-∠BAD=90°-∠BAC,BD=BC,
∴tan∠ABD=tan(90°-∠BAC)=,
∴tan(90°-∠BAC).
∵△AFD∽△BEC,∴∠DAF=∠CBE.
∵∠CBE+∠BOD=90°,∠AOH=∠BOD,
∴∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°,
∴∠AHO=180°-90°=90°,即∠AHB=90°.
(1)如图1,
根据以上结论可得:
∠AHB=90°,=tan(90°-×90°)=.
(2)如图2,
猜想:∠AHB=90°,.
证明:根据以上结论可得:
∠AHB=90°,=tan(90°-×60°)=.
(3)如图3,
根据以上结论可得:
=tan(90°-α).