Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的直线，垂足为D，且AC平分∠BAD．

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AC＝，AD＝4，求AB的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）6.

试题分析：（1）连接OC，推出∠DAC=∠OCA=∠CAO，推出OC∥AD，推出OC⊥DF，根据切线判定推出即可；
（2）连接BC，证△DAC∽△CAB，得出比例式，代入求出即可．
试题解析：（1）证明：联结OC
∵OA=OC，∴∠1=∠2
∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴OC//AD
∴∠OCE=∠ADC
∵AD⊥DC  ∴∠ADC=90°
∴∠OCE=90°
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：联结BC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
又∵∠ADC=90°，∠1=∠3，
∴cos∠1=cos∠3，
即，∴
把AC＝，AD＝4代入，得AB=6．

考点: 1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质．