题目内容

【题目】如图,四边形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AD,BC=DC,BE⊥CD于点E.
(1)求证:△ABD≌△EBD;
(2)过点E作EF∥DA,交BD于点F,连接AF.求证:四边形AFED是菱形.

【答案】
(1)证明:如图,

∵AD∥BC,

∴∠1=∠DBC.

∵BC=DC,

∴∠2=∠DBC.

∴∠1=∠2.

∵BA⊥AD,BE⊥CD

∴∠BAD=∠BED=90°,

在△ABD和△EBD中

∴△ABD≌△EBD(AAS)


(2)证明:由(1)得,AD=ED,∠1=∠2.

∵EF∥DA,

∴∠1=∠3.

∴∠2=∠3.

∴EF=ED.

∴EF=AD.

∴四边形AFED是平行四边形.

又∵AD=ED,

∴四边形AFED是菱形.


【解析】(1)首先证明∠1=∠2.再由BA⊥AD,BE⊥CD可得∠BAD=∠BED=90°,然后再加上公共边BD=BD可得△ABD≌△EBD;(2)首先证明四边形AFED是平行四边形,再有AD=ED,可得四边形AFED是菱形.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用菱形的判定方法的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握任意一个四边形,四边相等成菱形;四边形的对角线,垂直互分是菱形.已知平行四边形,邻边相等叫菱形;两对角线若垂直,顺理成章为菱形.

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