Question

【题目】如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线m（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在已作的图形中，若直线m分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F．连结AF，若AF=2，求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，直线M即为所求；

（2）解：∵直线DF垂直平分线段AB，

∴AF=BF．

∵AF=2，

∴BF=2．

∵∠B=60°．

∴△ABF为等边三角形，AB=2，

∴由等边三角形三线合一，AC垂直平分线段BF，BC= BF= ×2=1．

∴Rt△ABC中，AC= = = ．

∴△ABC周长=AB+BC+AC=2+1+ =3+ ．

【解析】（1）作线段AB的垂直平分线m即可；（2）先根据线段垂直平分线的性质得出AF=BF，再由∠B=60°得出△ABF为等边三角形，由等边三角形三线合一的性质得出BC的长．再由勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解线段垂直平分线的性质的相关知识，掌握垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．