题目内容

【题目】如图,现有一张边长为8的正方形纸片,点边上的一点(不与点、点重合),将正方形纸片折叠,使点落在处,点落在处,,折痕为,连结.

1)求证:

2)求证:

3)当时,求的长.

【答案】1)证明见解析;(2)证明见解析;(3PH=

【解析】

1)根据翻折变换的性质得出∠PBC=BPH,进而利用平行线的性质得出∠APB=PBC即可得出答案;

2)首先过BBQPH,垂足为Q,易证得ABP≌△QBP,进而得出BCH≌△BQH,即可得出AP+HC=PH

3)首先设AE=x,则EP=8-x,由勾股定理可得:在RtAEP中,AE2+AP2=PE2,即可得方程:x2+22=8-x2,即可求得答案AE的长,易证得DPH∽△AEP,然后由相似三角形的对应边成比例,求得答案.

1)证明:∵PE=BE

∴∠EPB=EBP

又∵∠EPH=EBC=90°

∴∠EPH-EPB=EBC-EBP

即∠BPH=PBC

又∵四边形ABCD为正方形

ADBC

∴∠APB=PBC

∴∠APB=BPH

2)证明:过BBQPH,垂足为Q

由(1)知,∠APB=BPH

ABPQBP中,

∴△ABP≌△QBPAAS),

AP=QPBA=BQ

又∵AB=BC

BC=BQ

又∵∠C=BQH=90°

∴△BCHBQH是直角三角形,

RtBCHRtBQH中,

RtBCHRtBQHHL),

CH=QH

AP+HC=PH

3)解:∵AP=2

PD=AD-AP=8-2=6

AE=x,则EP=8-x

RtAEP中,AE2+AP2=PE2

x2+22=8-x2

解得:x=

∵∠A=D=ABC=90°

∴∠AEP+APE=90°

由折叠的性质可得:∠EPG=ABC=90°

∴∠APE+DPH=90°

∴∠AEP=DPH

∴△DPH∽△AEP

解得:DH=

PH=

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