题目内容
【题目】如图,现有一张边长为8的正方形纸片,点
为
边上的一点(不与点
、点
重合),将正方形纸片折叠,使点
落在
处,点
落在
处,
交
于
,折痕为
,连结
、
.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)当时,求
的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)PH=.
【解析】
(1)根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH,进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案;
(2)首先过B作BQ⊥PH,垂足为Q,易证得△ABP≌△QBP,进而得出△BCH≌△BQH,即可得出AP+HC=PH.
(3)首先设AE=x,则EP=8-x,由勾股定理可得:在Rt△AEP中,AE2+AP2=PE2,即可得方程:x2+22=(8-x)2,即可求得答案AE的长,易证得△DPH∽△AEP,然后由相似三角形的对应边成比例,求得答案.
(1)证明:∵PE=BE,
∴∠EPB=∠EBP,
又∵∠EPH=∠EBC=90°,
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP.
即∠BPH=∠PBC.
又∵四边形ABCD为正方形
∴AD∥BC,
∴∠APB=∠PBC.
∴∠APB=∠BPH.
(2)证明:过B作BQ⊥PH,垂足为Q,
由(1)知,∠APB=∠BPH,
在△ABP与△QBP中,
,
∴△ABP≌△QBP(AAS),
∴AP=QP,BA=BQ.
又∵AB=BC,
∴BC=BQ.
又∵∠C=∠BQH=90°,
∴△BCH和△BQH是直角三角形,
在Rt△BCH与Rt△BQH中,
,
∴Rt△BCH≌Rt△BQH(HL),
∴CH=QH,
∴AP+HC=PH.
(3)解:∵AP=2,
∴PD=AD-AP=8-2=6,
设AE=x,则EP=8-x,
在Rt△AEP中,AE2+AP2=PE2,
即x2+22=(8-x)2,
解得:x=,
∵∠A=∠D=∠ABC=90°,
∴∠AEP+∠APE=90°,
由折叠的性质可得:∠EPG=∠ABC=90°,
∴∠APE+∠DPH=90°,
∴∠AEP=∠DPH,
∴△DPH∽△AEP,
∴,
∴,
解得:DH=.
∴PH=
