Question

【题目】如图，在Rt△AOB中，∠ABO=30°，BO=4，分别以OA、OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D点为x轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内作等边△ODE．

（1）如图①当E点恰好落在线段AB上时，求E点坐标；

（2）若点D从原点出发沿x轴正方向移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分的面积为y，当E点到达△AOB的外面，且点D在点B左侧时，写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在（1）问的条件下，将△ODE在线段OB上向右平移如图②，图中是否存在一条与线段OO′始终相等的线段？如果存在，请直接指出这条线段；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（1，）；（2）y=﹣x2+2x﹣2（2＜x＜4）；（3）存在线段EF=OO'；理由见解析

【解析】

（1）根据题意，作EH⊥OB于点H，由BO=4，求得OE，然后求出OH，EH，从而得出点E的坐标；

（2）根据题意，当E点到达△AOB的外面，且点D在点B左侧时，2＜x＜4即可；

（3）假设存在，由OO′=4﹣2﹣DB，而DF=DB，从而得到EF=OO'．

解：（1）作EH⊥OB于点H，

∵△OED是等边三角形，

∴∠EOD=60°．

又∵∠ABO=30°，

∴∠OEB=90°．

∵BO=4，

∴OE=OB=2．

∵△OEH是直角三角形，且∠OEH=30°，

∴OH=OE=1，EH=，

∵点E在第一象限内，

∴E（1，），

故答案为：E（1，）；

（2）当2＜x＜4，符合题意，如图，

由（1）知∠OEB=90°，∠E′=60°，

所求重叠部分四边形OD′NE的面积为：

S△OD′E′﹣S△E′EN=OD×EH﹣E′E×EN=x2﹣×（x﹣2）=﹣x2+2x﹣2

∴y=﹣x2+2x﹣2（2＜x＜4），

故答案为：y=﹣x2+2x﹣2（2＜x＜4）；

（3）存在线段EF=OO'．

∵∠ABO=30°，∠EDO=60°，

∴∠ABO=∠DFB=30°，

∴DF=DB，

∴OO′=4﹣2﹣DB=2﹣DB=2﹣DF=ED﹣DF=EF，

故答案为：存在线段EF=OO'．