Question

（1997•新疆）已知如图⊙A和⊙B外切于点P，它们的半径分别为R和r，CD是它们的外公切线，切点分别为C、D，且

CP

的弧长为1．
（1）求证：S_阴影=

(CD-1)R+r•CD

2

（2）当R=6cm，r=2cm时，求S阴影．

Answer 1

分析：（1）首先连接AP、AC，易得四边形ACDB是直角梯形，即可得S_梯形ACDB=

1

2

（AC+BD）•CD=

1

2

（R+r）•CD，又由

CP

的弧长为1，即可求得S_扇形CAP=

1

2

×1×R=

1

2

R，继而证得S_阴影=

(CD-1)R+r•CD

2

；
（2）过点B作BE⊥AC于E，易求得BE的长，然后代入公式，求得S阴影．

解答：（1）证明：连接AP、AC，
∵CD是⊙A、⊙B的公切线，
∴四边形ACDB是直角梯形，
∴S_梯形ACDB=

1

2

（AC+BD）•CD=

1

2

（R+r）•CD，
∵

CP

的弧长为1，
∴S_扇形CAP=

1

2

×1×R=

1

2

R，
∴S_阴影=S_梯形ACDB-S_扇形CAP=

1

2

（R+r）•CD-

1

2

R=

(CD-1)R+r•CD

2

；

（2）解：过点B作BE⊥AC于E，
∵CD是它们的外公切线，切点分别为C、D，
∴AC⊥CD，BD⊥CD，
∴四边形BDCE是矩形，
∴BE=CD，AE=AC-BD=R-r=6-2=4（cm），
∵AB=AP+PB=6+2=8（cm），
 在Rt△ABE中，BE=

AB2-AE2

=4

3

（cm），
∴CD=4

3

cm，
∴S_阴影=

(CD-1)R+r•CD

2

=

(4 3 -1)×6+2×4 3

2

=16

3

-3（cm²）．

点评：此题考查了相切两圆的性质、勾股定理、扇形的面积、梯形的面积以及矩形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．