题目内容

如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,FAD的中点,CEABE,设∠ABCα(60°≤α<90°).

(1)当α=60°时,求CE的长;

(2)当60°<α<90°时,

①是否存在正整数k,使得∠EFDkAEF?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

②连接CF,当CE2CF2取最大值时,求tan∠DCF的值.

分析 (1)利用60°角的正弦值列式计算即可得解;

(2)①连接CF并延长交BA的延长线于点G,利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等,根据全等三角形对应边相等可得CFGFAGCD,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EFGF,再根据ABBC的长度可得AGAF,然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G,然后推出∠EFD=3∠AEF,从而得解;

②设BEx,在Rt△BCE中,利用勾股定理表示出CE2,表示出EG的长度,在Rt△CEG中,利用勾股定理表示出CG2,从而得到CF2,然后相减并整理,再根据二次函数的最值问题解答.

解 (1)∵α=60°,BC=10,∴sin α

即sin 60°=,解得CE=5

(2)①存在k=3,使得∠EFDkAEF.

理由如下:连接CF并延长交BA的延长线于点G,如图所示,∵FAD的中点,

AFFD

在平行四边形ABCD中,ABCD

∴∠G=∠DCF,在△AFG和△DFC中,

∴△AFG≌△DFC(AAS),∴CFGFAGDC

CEAB

EFGF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),∴∠AEF=∠G

AB=5,BC=10,点FAD的中点,

AG=5,AFADBC=5,

AGAF,∴∠AFG=∠G

在△EFG中,∠EFC=∠AEF+ ∠G=2∠AEF

又∵∠CFD=∠AFG(对顶角相等),

∴∠CFD=∠AEF

∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF

因此,存在正整数k=3,使得∠EFD=3∠AEF

②设BEx,∵AGCDAB=5,

EGAEAG=5-x+5=10-x

在Rt△BCE中,CE2BC2BE2=100-x2

在Rt△CEG中,CG2EG2CE2=(10-x)2+100-x2=200-20x

CFGF(①中已证),

CF2CG2(200-20x)=50-5x

CE2CF2=100-x2-50+5x

=-x2+5x+50=-+50+

∴当x,即点EAB的中点时,

CE2CF2取最大值,

此时,EG=10-x=10-

CE

所以,tan∠DCF=tan∠G.

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