Question

【题目】已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．

（1）求证：BM＝CM；

（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；

（3）当矩形ABCD的长和宽满足什么条件时，四边形MENF是正方形？为什么？

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）平行四边形MENF是菱形,见解析；（3）即当AD：AB＝2：1时，四边形MENF是正方形,理由见解析.

【解析】

（1）证明△ABM≌△DCM即可求解

（2）先证明四边形MENF是平行四边形，再根据（1）中的△ABM≌△DCM可得BM＝CM，即ME＝MF，即可求证平行四边形MENF是菱形

（3）当AD：AB＝2：1时，易得∠ABM＝∠AMB＝45°，∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，又四边形MENF是菱形，故可证菱形MENF是正方形，

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，

∵M为AD中点，

∴AM＝DM，

在△ABM和△DCM中，

∴△ABM≌△DCM（SAS），

∴BM＝CM；

（2）四边形MENF是菱形．

证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，

∴NE∥CM，NE＝CM，

∵MF＝CM，

∴NE＝FM，

∵NE∥FM，

∴四边形MENF是平行四边形，

由（1）知△ABM≌△DCM，

∴BM＝CM，

∵E、F分别是BM、CM的中点，

∴ME＝MF，

∴平行四边形MENF是菱形；

（3）当AD：AB＝2：1时，四边形MENF是正方形．

理由：∵M为AD中点，

∴AD＝2AM，

∵AD：AB＝2：1，

∴AM＝AB，

∵∠A＝90°

∴∠ABM＝∠AMB＝45°，

同理∠DMC＝45°，

∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，

∵四边形MENF是菱形，

∴菱形MENF是正方形，

即当AD：AB＝2：1时，四边形MENF是正方形．