题目内容
【题目】如图，在菱形四边形ABCD中，
，
，对角线AC、BD交于点O，点P为直线BD上的动点
不与点B重合
，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转
得到线段PE，连接CE、BE．
问题发现
如图1，当点E在直线BD上时，线段BP与CE的数量关系为______；
______
拓展探究
如图2，当点P在线段BO延长线上时，的结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；
问题解决
当
时，请直接写出线段AP的长度．
【答案】（1）
，
（2）成立（3）AP的长为4或
【解析】
问题发现
连接AE，根据菱形的性质可得
，
，
，根据线段垂直平分线的性质可得
，由旋转的性质可得
是等边三角形，可得
，
，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的判定，可证
，由菱形的性质可得
，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得
，即可得
；
拓展探究
由等边三角形的性质可得
，
，
，可得
，根据“SAS”可证
≌
，可得
，
，即可得；
问题解决
分点E在AC左侧，点E在AC右侧两种情况讨论，根据直角三角形的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求点P的坐标．
问题发现,如图，连接AE，
四边形ABCD是菱形，
，
，，，
垂直平分AC，
，
旋转
，
，
是等边三角形
，
，
是等边三角形，，
，
，
故答案为：，
拓展探究
结论仍然成立，
如图，连接AE，
由可知：，
都是等边三角形，
，，
，且，，
≌
，
结论仍然成立；
问题解决
如图，当点E在AC左侧时，
，
，且
与AB重合，
，
，
，
，
是等边三角形
此时点P与点D重合
如图，若点E在AC右侧时，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在
中，
是等边三角形
综上所述：AP的长为4或
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