题目内容
如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C(0,4),对称轴x=2与x轴交于点D,顶点为M,且DM=OC+OD.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设点P(x,y)是第一象限内该抛物线上的一个动点,△PCD的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若经过点P的直线PE与y轴交于点E,是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等?若存在,请求出直线PE的解析式;若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意得:OC=4,OD=2,∴DM=OC+OD=6。
∴顶点M坐标为(2,6)。
设抛物线解析式为:y=a(x﹣2)2+6,
∵点C(0,4)在抛物线上,∴4=4a+6,解得a=。
∴抛物线的解析式为:y=(x﹣2)2+6=x2+2x+4。
(2)如答图1,过点P作PE⊥x轴于点E.
∵P(x,y),且点P在第一象限,∴PE=y,OE=x。
∴DE=OE﹣OD=x﹣2.
∴S=S梯形PEOC﹣S△COD﹣S△PDE=(4+y)•x﹣×2×4﹣(x﹣2)•y=y+2x﹣4。
将y=x2+2x+4代入上式得:S=x2+2x+4+2x﹣4=x2+4x。
在抛物线解析式y=x2+2x+4中,令y=0,即x2+2x+4=0,解得x=2±.
设抛物线与x轴交于点A、B,则B(2+,0)。
∴0<x<2+.
∴S关于x的函数关系式为:S=x2+4x(0<x<2+)。
(3)存在。若以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等,可能有以下情形:
①OD=OP。
由图象可知,OP最小值为4,即OP≠OD,故此种情形不存在。
②OD=OE。
若点E在y轴正半轴上,如答图2所示,此时△OPD≌△OPE。
∴∠OPD=∠OPE,即点P在第一象限的角平分线上。
∴直线PE的解析式为:y=x。
若点E在y轴负半轴上,易知此种情形下,两个三角形不可能全等,故不存在。
③OD=PE。
∵OD=2,∴第一象限内对称轴右侧的点到y轴的距离均大于2。
∴点P只能位于对称轴左侧或与顶点M重合。
若点P位于第一象限内抛物线对称轴的左侧,易知△OPE为钝角三角形,而△OPD为锐角三角形,则不可能全等。
若点P与点M重合,如答图3所示,此时△OPD≌OPE,四边形PDOE为矩形。
∴直线PE的解析式为:y=6。
综上所述,存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等,直线PE的解析式为y=x或y=6。
解析试题分析:(1)首先求出点M的坐标,然后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式。
(2)如答图1所示,作辅助线构造梯形,利用S=S梯形PEOC﹣S△COD﹣S△PDE求出S关于x的表达式;求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标,得到自变量的取值范围。
(3)由于三角形的各边,只有OD=2是确定长度的,因此可以以OD为基准进行分类讨论:
①OD=OP,因为第一象限内点P到原点的距离均大于4,因此OP≠OD,此种情形排除。
②OD=OE.分析可知,只有如答图2所示的情形成立。
③OD=PE.分析可知,只有如答图3所示的情形成立。
某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查:在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具.
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40),请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元,并把结果填写在表格中:
销售单价(元) | x |
销售量y(件) | |
销售玩具获得利润w(元) | |
(3)在(1)问条件下,若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且商场要完成不少于540件的销售任务,求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少?
2011年11月28日至12月9日,联合国气候变化框架公约第17次缔约方会议在南非德班召开,大会通过了“德班一揽子决议”(DurbanPackageOutcome),建立德班增强行动平台特设工作组,决定实施《京都议定书》第二承诺期并启动绿色气候基金,中国的积极态度赢得与会各国的尊重.
在气候对人类生存压力日趋加大的今天,发展低碳经济,全面实现低碳生活逐渐成为人们的共识.某企业采用技术革新,节能减排.从去年1至6月,该企业二氧化碳排放量y1(吨)与月份x(1≤x≤6,且x取整数)之间的函数关系如下表:
月份x(月) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
二氧化碳排放量y1(吨) | 600 | 300 | 200 | 150 | 120 | 100 |
(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,直接写出y1与x之间的函数关系式.并且直接写出y2与x之间的函数关系式;
(2)政府为了鼓励企业节能减排,决定对每月二氧化碳排放量不超过600吨的企业进行奖励.去年1至6月奖励标准如下,以每月二氧化碳排放量600吨为标准,不足600吨的二氧化碳排放量每吨奖励z(元)与月份x满足函数关系式z=x2﹣x(1≤x≤6,且x取整数),如该企业去年3月二氧化碳排放量为200吨,那么该企业得到奖励的吨数为(600﹣200)吨;去年7至12月奖励标准如下:以每月二氧化碳排放量600吨为标准,不足600吨的二氧化碳排放量每吨奖励30元,如该企业去年7月份的二氧化碳排放量为56吨,那么该企业得到奖励的吨数为(600﹣56)吨.请你求出去年哪个月政府奖励该企业的资金最多,并求出这个最多资金;
(3)在(2)问的基础上,今年1至6月,政府继续加大对节能减排企业的奖励,奖励标准如下:以每月二氧化碳排放量600吨为标准,不足600吨的部分每吨补助比去年12月每吨补助提高m%.在此影响下,该企业继续节能减排,1至3月每月的二氧化碳排放量都在去年12月份的基础上减少24吨.4至6月每月的二氧化碳排放量都在去年12月份的基础上减少m%,若政府今年1至6月奖励给该企业的资金为162000元,请你参考以下数据,估算出 m的整数值.
(参考数据:322=1024,332=1089,342=1156,352=1225,362=1296)
点(﹣1,y1),(2,y2),(3,y3)均在函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y3<y2<y1 | B.y2<y3<y1 |
C.y1<y2<y3 | D.y1<y3<y2 |