题目内容

如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线与x轴相交于O、B,顶点为A,连接OA.

(1)求点A的坐标和∠AOB的度数;
(2)若将抛物线向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线m,其顶点为点C.连接OC和AC,把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′.试判断其形状,并说明理由;
(3)在(2)的情况下,判断点C′是否在抛物线上,请说明理由;
(4)若点P为x轴上的一个动点,试探究在抛物线m上是否存在点Q,使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形,且OC为该四边形的一条边?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)点A的坐标为(﹣2,﹣2),∠AOB=45°。
(2)四边形ACOC′为菱形。理由见解析
(3)点C′不在抛物线上。理由见解析
(4)存在符合条件的点Q。点Q的坐标为(6,4)。

解析试题分析:(1)由得,y=(x﹣2)2﹣2,故可得出抛物线的顶点A的坐标,过点A作AD⊥x轴,垂足为D,由∠ADO=90°可知点D的坐标,故可得出OD=AD,由此即可得出结论。
∵由得,y=(x﹣2)2﹣2,
∴抛物线的顶点A的坐标为(﹣2,﹣2)。
如图1,过点A作AD⊥x轴,垂足为D,∴∠ADO=90°。
∵点A的坐标为(﹣2,﹣2),点D的坐标为(﹣2,0),
∴OD=AD=2。∴∠AOB=45°。
(2)由题意可知抛物线m的二次项系数为,由此可得抛物线m的解析式过点C作CE⊥x轴,垂足为E;过点A作AF⊥CE,垂足为F,与y轴交与点H,根据勾股定理可求出OC的长,同理可得AC的长,OC=AC,
由翻折的轴对称性的性质可知,OC=AC=OC′=AC′,由此即可得出结论。
四边形ACOC′为菱形。理由如下:
由题意可知抛物线m的二次项系数为,且过顶点C的坐标是(2,﹣4),
∴抛物线m的解析式为:y=(x﹣2)2﹣4,即y=x2﹣2x﹣2。
如图,过点C作CE⊥x轴,垂足为E;过点A作AF⊥CE,垂足为F,与y轴交与点H,

∴OE=2,CE=4,AF=4,CF=CE﹣EF=2。

同理,AC=
∴OC=AC。
由翻折的轴对称性的性质可知,OC=AC=OC′=AC′,
∴四边形ACOC′为菱形。
(3)过点C′作C′G⊥x轴,垂足为G,由于OC和OC′关于OA对称,∠AOB=∠AOH=45°,故可得出∠COH=∠C′OG,再根据CE∥OH可知∠OCE=∠C′OG,根据全等三角形的判定定理可知△CEO≌△C′GO,故可得出点C′的坐标把x=﹣4代入抛物线进行检验即可得出结论。
点C′不在抛物线上。理由如下:
如图,过点C′作C′G⊥x轴,垂足为G,

∵OC和OC′关于OA对称,∠AOB=∠AOH=45°,∴∠COH=∠C′OG。
∵CE∥OH,∴∠OCE=∠C′OG。
又∵∠CEO=∠C′GO=90°,OC=OC′,∴△CEO≌△C′GO。∴OG=4,C′G=2。
∴点C′的坐标为(﹣4,2)。
把x=﹣4代入抛物线得y=0。
∴点C′不在抛物线上。
(4)∵点P为x轴上的一个动点,点Q在抛物线m上,

∴设Q(a,)。
∵OC为该四边形的一条边,∴OP为对角线。
∴CQ的中点在x上。
∵C的坐标是(2,﹣4),
,解得a1=6,a 2=﹣2。
∴Q(6,4)或(﹣2,4)(Q、O、C在一直线上,舍去)。
∴点Q的坐标为(6,4)。

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