题目内容

【题目】△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D,E分别在AB,BC上,且AD=BE,BD=AC.
(1)如图1,连DE,求∠BDE的度数;

(2)如图2,过E作EF⊥AB于F,求证:∠FED=∠CED;

(3)在(2)的条件下,若BF=2,求CE的长.

【答案】
(1)

解:∵AC=BC,∠ACB=90°,

∴∠A=∠B=45°,

∵AC=BC,BD=AC,

∴BD=BC,

∴∠BCD=∠BDC= =67.5°,

∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=90°﹣67.5°=22.5°,

在△ADC和△BED中,

∴△ADC≌△BED,

∴∠BDE=∠ACD=22.5°


(2)

解:由(1)有∠BDE=22.5°,

∵EF⊥AB,

∴∠BFE=∠DFE=90°,

∴∠DEF=90°﹣∠BDE=67.5°,

由(1)有,△ADC≌△BED,

∴DC=DE,

∴∠DEC=∠BCD=67.5°,

∴∠DEF=∠DEC,

即:∠FED=∠CED


(3)

解:如图2,

由(1)知CD=DE,

∴∠DCE=∠DEC=67.5°,

∴∠CDE=45°,

过D作DM⊥CE于M,

∴CM=ME= CE,∠CDM=∠EDM=∠BDE=22.5°,

∵EM⊥DM,EF⊥DB,

∴EF=ME,

∵∠BFE=90°,∠B=45°,

∴∠BEF=∠B=45°,

∴EF=BF,

∴CE=2ME=2EF=2BF=4.


【解析】(1)根据等腰三角形的性质和SAS可证△BDE≌△ACD,再根据等腰直角三角形的性质即可得到∠BDE的度数;(2)先由EF⊥AB和∠BDE=22.5°,求出∠BED,再由(1)结论推导出∠BCD=∠DEC=67.5°即可.(3)由(1)知CD=DE,根据等腰三角形的性质和角的和差关系可得∠CDE=45°,过D作DM⊥CE于M,根据角平分线的性质以及等量关系即可得到CE的长
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形三边关系的相关知识,掌握三角形两边之和大于第三边;三角形两边之差小于第三边;不符合定理的三条线段,不能组成三角形的三边.

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