题目内容
【题目】△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D,E分别在AB,BC上,且AD=BE,BD=AC.
(1)如图1,连DE,求∠BDE的度数;
(2)如图2,过E作EF⊥AB于F,求证:∠FED=∠CED;
(3)在(2)的条件下,若BF=2,求CE的长.
【答案】
(1)
解:∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠A=∠B=45°,
∵AC=BC,BD=AC,
∴BD=BC,
∴∠BCD=∠BDC= =67.5°,
∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=90°﹣67.5°=22.5°,
在△ADC和△BED中,
,
∴△ADC≌△BED,
∴∠BDE=∠ACD=22.5°
(2)
解:由(1)有∠BDE=22.5°,
∵EF⊥AB,
∴∠BFE=∠DFE=90°,
∴∠DEF=90°﹣∠BDE=67.5°,
由(1)有,△ADC≌△BED,
∴DC=DE,
∴∠DEC=∠BCD=67.5°,
∴∠DEF=∠DEC,
即:∠FED=∠CED
(3)
解:如图2,
由(1)知CD=DE,
∴∠DCE=∠DEC=67.5°,
∴∠CDE=45°,
过D作DM⊥CE于M,
∴CM=ME= CE,∠CDM=∠EDM=∠BDE=22.5°,
∵EM⊥DM,EF⊥DB,
∴EF=ME,
∵∠BFE=90°,∠B=45°,
∴∠BEF=∠B=45°,
∴EF=BF,
∴CE=2ME=2EF=2BF=4.
【解析】(1)根据等腰三角形的性质和SAS可证△BDE≌△ACD,再根据等腰直角三角形的性质即可得到∠BDE的度数;(2)先由EF⊥AB和∠BDE=22.5°,求出∠BED,再由(1)结论推导出∠BCD=∠DEC=67.5°即可.(3)由(1)知CD=DE,根据等腰三角形的性质和角的和差关系可得∠CDE=45°,过D作DM⊥CE于M,根据角平分线的性质以及等量关系即可得到CE的长
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形三边关系的相关知识,掌握三角形两边之和大于第三边;三角形两边之差小于第三边;不符合定理的三条线段,不能组成三角形的三边.