Question

如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M．P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME．

（1）求点A，B的坐标（直接写出结果），并证明△MDE是等腰三角形；
（2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；
（3）若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．

Answer 1

（1）A（1，0），B（5，0），证明见解析
（2）△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，3）
（3）能。此时点P坐标为（，）。

试题分析：（1）在抛物线解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得点A、点B的坐标。如答图1所示，作辅助线，构造全等三角形△AMF≌△BME，得到点M为为Rt△EDF斜边EF的中点，从而得到MD=ME，问题得证。
在中，令y=0，即﹣，解得x=1或x=5，
∴A（1，0），B（5，0）。
如答图1所示，分别延长AD与EM，交于点F，

∵AD⊥PC，BE⊥PC，∴AD∥BE。∴∠MAF=∠MBE。
在△AMF与△BME中，
∵∠MAF=∠MBE，MA=MB，∠AMF=∠BME，
∴△AMF≌△BME（ASA）。
∴ME=MF，即点M为Rt△EDF斜边EF的中点。
∴MD=ME，即△MDE是等腰三角形。
（2）首先分析，若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M。如答图2所示，设直线PC与对称轴交于点N，证明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，从而求得点N坐标为（3，2）；利用点N、点C坐标，求出直线PC的解析式；最后联立直线PC与抛物线的解析式，求出点P的坐标。
能。
∵，∴抛物线的对称轴是直线x=3，M（3，0）
令x=0，得y=﹣4，∴C（0，﹣4）。
△MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形：
①若DE⊥EM，
由DE⊥BE，可知点E、M、B在一条直线上，而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上。
由DE⊥BE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合，不符合题意。
故此种情况不存在。
②若DE⊥DM，与①同理可知，此种情况不存在。
③若EM⊥DM，如答图2所示，

设直线PC与对称轴交于点N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN=∠DMA。
在△ADM与△NEM中，
∵∠DMA =∠EMN，DM = EM，∠ADM=∠NEM=135°，
∴△ADM≌△NEM（ASA）。∴MN=MA。
∵M（3，0），MN=MA=2，∴N（3，2）。
设直线PC解析式为y=kx+b，
∵点N（3，2），C（0，﹣4）在抛物线上，
∴，解得。
∴直线PC解析式为y=2x﹣4。
将y=2x﹣4代入抛物线解析式得： ，解得：x=0或x=。
当x=0时，交点为点C；当x=时，y=2x﹣4=3。
∴P（，3）。
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，3）。
（3）当点P是抛物线在x轴下方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同：
如答题3所示，设对称轴与直线PC交于点N，

与（2）同理，可知若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M。
∵MD⊥ME，MA⊥MN，∴∠DMN=∠EMB。
在△DMN与△EMB中，
∵∠SMN =∠EMB，DM = EM，∠MDN=∠MEB=45°，
∴△DMN≌△EMB（ASA）。∴MN=MB。∴N（3，﹣2）。
设直线PC解析式为y=kx+b，
∵点N（3，﹣2），C（0，﹣4）在抛物线上，
∴，解得。
∴直线PC解析式为y=x﹣4。
将y=x﹣4代入抛物线解析式得：，解得：x=0或x=。
当x=0时，交点为点C；当x=时，y=x﹣4=。∴P（，）。
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，）。