Question

如图，抛物线与直线交于点A 、B，与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；
（2）若点P是直线x=1上一点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

符合条件的点P共有4个，分别为：P₁（1，-8），P₁′（1，8），P₂（1，-4），P₂′（1，12）．

试题分析：（1）将两个函数解析式联立，组成一个方程组求得x、y的值即可得到两点的坐标；
（2）存在符合条件的点P共有3个．因而分三类情形探求．
①以AB为腰且顶角为∠A：△P₁AB；②以AB为腰且顶角为∠B：△P₂AB；③以AB为底，顶角为∠P的△PAB有1个，即△P₃AB．综上得出符合条件的点．
试题解析：
解：（1）由题意得：解得：或
∴A（-3，0）B（5，4）
（2）存在符合条件的点P共有4个．以下分三类情形探求．
由A（-3，0），B（5，4），C（0，4），可得BC∥x轴，BC＝AC，
设直线x＝1与x轴交于N，与CB交于M，
过点B作BQ⊥x轴于Q，易得BQ＝4，AQ＝8，AN＝4，BM＝4，
①以AB为腰且顶角为∠A：△P₁AB．
∴AB²＝AQ²+BQ²＝8²+4²＝80，
在Rt△ANP₁中，，
∴，

②以AB为腰且顶角为∠B：△P₂AB．
在Rt△BMP₂中， ，
∴P₂（1，-4）或P₂′（1，12），
③以AB为底，顶角为∠P的△PAB有1个，即△P₃AB．
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P₃，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．
过点P₃作P₃K垂直y轴，垂足为K，显然Rt△P₃CK∽Rt△BAQ．
∴．
∵P₃K＝1，
∴CK＝2，于是OK＝2，
∴P₃（1，2），
而P₃（1，2）在线段AB上，构不成三角形，舍去．
综上，符合条件的点P共有4个，分别为：